Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}{1}(1+\sqrt{x}){8} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir o binômio
usando o Teorema do Binômio e depois integrar cada termo resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Binômio, que nos permite expandir expressões da forma
. No nosso caso,
,
e
. A fórmula geral é:
Aplicando isso à nossa expressão:
Mas
é sempre 1, então simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na nossa integral:
Podemos trocar a integral e a soma (isso é permitido porque a soma tem um número finito de termos):
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
para cada valor de
de 0 a 8. A integral de
é:
Aplicando isso:
Passo 5
Substituindo de volta na soma:
Essa soma envolve calcular cada termo individualmente. Vamos calcular para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, somamos todos esses valores:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Multiplicando pelo 2:
Resposta
A integral
é aproximadamente 89.045.