Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}{1}(1+\sqrt{x}){8} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir o binômio usando o Teorema do Binômio e depois integrar cada termo resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Binômio, que nos permite expandir expressões da forma . No nosso caso, , e . A fórmula geral é:
Aplicando isso à nossa expressão:
Mas é sempre 1, então simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na nossa integral:
Podemos trocar a integral e a soma (isso é permitido porque a soma tem um número finito de termos):

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral para cada valor de de 0 a 8. A integral de é:
Aplicando isso:

Passo 5

Substituindo de volta na soma:
Essa soma envolve calcular cada termo individualmente. Vamos calcular para cada :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, somamos todos esses valores:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Multiplicando pelo 2:

Resposta

A integral é aproximadamente 89.045.

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