Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int x \cos 5 x d x

Passo 1

Estamos aqui para calcular a integral de . Esse exercício envolve o conteúdo de técnicas de integração, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar partes da função que vamos derivar e integrar separadamente.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
Primeiro, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular e . Derivando e integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral restante:
A integral de é:
Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão principal:
Simplificando:

Resposta

A integral é:

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Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\pi} t \cos ^{2} t d t