Calcule a integral. $\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{2} u^{4}-\frac{2}{5} u^{9}\right) d u
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função polinomial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Vamos precisar aplicar a regra de integração termo a termo e depois avaliar os limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A integral que temos é:
Podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos integrar o primeiro termo, que é 1:
Isso porque a integral de uma constante
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo, que é
:
Aqui, usamos a regra da potência, onde a integral de
é
.
Passo 5
Por fim, vamos integrar o terceiro termo, que é
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da potência para integrar
.
Passo 6
Agora, juntamos todas as integrações:
Isso significa que vamos substituir os limites de integração, primeiro com
e depois com
, e subtrair os resultados.
Passo 7
Substituindo
:
Substituindo
:
Então, a diferença é:
Resposta
O valor da integral é
ou, em forma decimal, aproximadamente 1,06.
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