Calcule a integral. $\int_{0}^{1}\left(1+\frac{1}{2} u^{4}-\frac{2}{5} u^{9}\right) d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função polinomial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Vamos precisar aplicar a regra de integração termo a termo e depois avaliar os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A integral que temos é:
Podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo, que é 1:
Isso porque a integral de uma constante em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo, que é :
Aqui, usamos a regra da potência, onde a integral de é .

Passo 5

Por fim, vamos integrar o terceiro termo, que é :
Mais uma vez, aplicamos a regra da potência para integrar .

Passo 6

Agora, juntamos todas as integrações:
Isso significa que vamos substituir os limites de integração, primeiro com e depois com , e subtrair os resultados.

Passo 7

Substituindo :
Substituindo :
Então, a diferença é:

Resposta

O valor da integral é ou, em forma decimal, aproximadamente 1,06.

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