y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por uma integral: . O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente o cosseno ao quadrado, e também aplicar o teorema fundamental do cálculo para relacionar a integral com a função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2 não é a forma mais fácil de integrar diretamente. Para facilitar, usamos uma identidade trigonométrica que transforma em uma forma mais simples para a integração. A identidade que vamos usar é:
Isso ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos substituir y = integral0^x^4 1 + cos(2theta)2 , dtheta pela identidade na nossa integral:
y = 12 integral0^x^4 1 , dtheta + 12 integral0^x^4 cos(2theta) , dtheta
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. A primeira integral é bem simples:
12 integral0^x^4 1 , dtheta = 12 [ theta ]0^x^4 = 12 (x^4 - 0) = x^42

Passo 5

Agora, a segunda integral envolve 12 integral0^x^4 cos(2theta) , dtheta = 12 [ sin(2theta)2 ]0^x^4 = 14 ( sin(2x^4) - sin(0) ) = 14 sin(2x^4) . A integral de é . Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos juntar as duas partes que calculamos:
y = x^42 + 14 sin(2x^4)

Resposta

Portanto, a função y = x^42 + 14 sin(2x^4) em termos de é:

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