Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{2 x}^{3 x} \frac{u{2}-1}{u{2}+1} d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral como , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja, .
Mas no nosso caso, os limites da integral são funções de (ou seja, e ) e não apenas uma constante e . Para lidar com isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da derivada de uma integral com limites variáveis. Se , então a derivada é dada por:
No nosso exercício, temos:
E a função dentro da integral é:
Vamos calcular e :
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar as expressões:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, juntando tudo:

Resposta

A derivada da função é:

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