Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{2 x}^{3 x} \frac{u{2}-1}{u{2}+1} d u
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral como
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Ou seja,
.
Mas no nosso caso, os limites da integral são funções de
(ou seja,
e
) e não apenas uma constante e
. Para lidar com isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da derivada de uma integral com limites variáveis. Se
, então a derivada
é dada por:
No nosso exercício, temos:
E a função dentro da integral é:
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, juntando tudo:
Resposta
A derivada da função
é:
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