Calcule a integral. $\int_{1}^{4}\left(5-2 t+3 t^{2}\right) d t

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é para calcular uma integral definida: . Isso significa que vamos encontrar a área sob a curva da função no intervalo de até . Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função e depois avaliar essa antiderivada nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da expressão . A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Para cada termo:
  • A antiderivada de em relação a t é .
  • A antiderivada de é .
  • A antiderivada de é .
Então, juntando tudo, a antiderivada da função é:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada F(t), vamos avaliar essa função nos limites de integração, que são e . Isso significa que vamos calcular e F(1).
Calculando :
Calculando F(1):

Passo 4

A integral definida é a diferença entre e F(1). Então, vamos subtrair os valores que encontramos:

Resposta

A integral é igual a 63.

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