Determine as derivadas parciais indicadas:
(b)
, para
, com
tgt e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente precisa achar a derivada de
em relação a
, onde
, com
e
. Vamos usar a regra da cadeia para isso, que é super útil quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, e ambos
e
dependem de
. Então, para achar
, precisamos levar em conta como
muda com
e
, e como
e
mudam com
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Isso significa que vamos calcular duas derivadas parciais: uma de
em relação a
e outra de
em relação a
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Aqui usamos a derivada da raiz quadrada e tratamos
e
como constantes ao derivar em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Essas são derivadas padrão das funções trigonométricas e suas inversas.
Passo 6
Substituindo tudo de volta na fórmula da regra da cadeia:
Agora, vamos deixar a expressão mais limpa.
Passo 7
Sabendo que
e
, substituímos na expressão:
Então, a derivada fica: