Determine as derivadas parciais indicadas:
(b) , para , com tgt e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente precisa achar a derivada de em relação a , onde , com e . Vamos usar a regra da cadeia para isso, que é super útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , e ambos e dependem de . Então, para achar , precisamos levar em conta como muda com e , e como e mudam com .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Isso significa que vamos calcular duas derivadas parciais: uma de em relação a e outra de em relação a , além das derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular e :
Aqui usamos a derivada da raiz quadrada e tratamos e como constantes ao derivar em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a :
Essas são derivadas padrão das funções trigonométricas e suas inversas.

Passo 6

Substituindo tudo de volta na fórmula da regra da cadeia:
Agora, vamos deixar a expressão mais limpa.

Passo 7

Sabendo que e , substituímos na expressão:
Então, a derivada fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o conjunto em que a função é contínua:
(a)
Determine as curvas de nível e as interseçōes do gráfico com os planos yz e xz e faça um esboço do gráfico:
©
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Calcule a integral. $\int_{1}^{4}\left(5-2 t+3 t^{2}\right) d t