Calcule a integral. $\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso envolve o estudo de cálculo integral, especificamente a integração de funções que se relacionam com a função arco seno. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da integral da função e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Sabemos que a integral de é a função arco seno, ou seja, . Então, a antiderivada de será .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração. Isso significa que vamos calcular avaliando de até . Ficará assim:

Passo 4

Vamos lembrar dos valores de para esses pontos específicos:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Fazendo as contas:
Então:

Resposta

A integral vale .

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