Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t \operatorname{sen} t d t
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem da variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se tivermos uma função
, a derivada
é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função
nos limites superiores e inferiores da integral, multiplicados pelas derivadas dos próprios limites.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Aqui, ,
e
. Vamos calcular as derivadas dos limites:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo os valores que encontramos:
Note que o segundo termo tem um sinal negativo multiplicado por
, o que vira positivo.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Isso nos dá a derivada da função
.
Resposta
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