Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t \operatorname{sen} t d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se tivermos uma função , a derivada é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função nos limites superiores e inferiores da integral, multiplicados pelas derivadas dos próprios limites.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Aqui, , e . Vamos calcular as derivadas dos limites:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo os valores que encontramos:
Note que o segundo termo tem um sinal negativo multiplicado por , o que vira positivo.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Isso nos dá a derivada da função .

Resposta

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Calcule a integral. $\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
Encontre a derivada da função. $F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \operatorname{arctg} t d t
Resolva as EDO18)
Resolva as EDO25) $(2ysenx