Encontre a derivada da função. $F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \operatorname{arctg} t d t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo derivadas de integrais com limites que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivação de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra de Leibniz. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que são funções de
, ou seja,
e
, a derivada dessa função é dada por:
Aqui,
é a função dentro da integral. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando um pouco:
Resposta
A derivada da função é: