Encontre a derivada da função. $F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \operatorname{arctg} t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo derivadas de integrais com limites que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivação de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra de Leibniz. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que são funções de , ou seja, e , a derivada dessa função é dada por:
Aqui, é a função dentro da integral. No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando um pouco:

Resposta

A derivada da função é:

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