Encontre a derivada da função. $F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \operatorname{arctg} t d t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo derivadas de integrais com limites que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivação de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra de Leibniz. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que são funções de
, ou seja,
e
, a derivada dessa função é dada por:
Aqui,
é a função dentro da integral. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando um pouco:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
onde $f(x)=
Calcule a integral. $\int_{\pi}^{2 \pi} \cos \theta d \theta
Calcule a integral. $\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t \operatorname{sen} t d t