A temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medido
em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
?
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço tridimensional, ou seja, em função de
,
e
. O que precisamos descobrir é qual é a direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a temperatura
, é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação dessa função. Matemáticamente, o gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função temperatura
em relação a
,
e
.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Agora, a derivada em relação a
:
E, por fim, a derivada em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente
:
Esse vetor nos dá a direção de maior crescimento da temperatura no ponto
.
Passo 5
Para encontrar a direção de maior crescimento, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformar o vetor gradiente em um vetor unitário (de comprimento 1). A direção do vetor gradiente normalizado será a direção de maior aumento da temperatura.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Depois, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura no ponto
é dada pelo vetor unitário na direção do gradiente de
, ou seja:
Esse vetor aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto considerado.
Exercícios relacionados
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e
satifazem a equação de onda;
(a) Mostre que
Calcule a integral.
(a)
(a)
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)
(d)