A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z)=200 e^-x^2-3 y^2-9 z^2
onde T é medido em^circ C e x, y, z em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço tridimensional, ou seja, em função de , e . O que precisamos descobrir é qual é a direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a temperatura , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação dessa função. Matemáticamente, o gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função temperatura partial Tpartial x = 200 cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 cdot (-2x) = -400x cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 em relação a partial Tpartial y = 200 cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 cdot (-6y) = -1200y cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 , partial Tpartial z = 200 cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 cdot (-18z) = -3600z cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 e .
Primeiro, a derivada em relação a :
Agora, a derivada em relação a :
E, por fim, a derivada em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z ) = ( -400x cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2, -1200y cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2, -3600z cdot e^-x^2-3 y^2-9 z^2 ) :
Esse vetor nos dá a direção de maior crescimento da temperatura no ponto .

Passo 5

Para encontrar a direção de maior crescimento, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformar o vetor gradiente em um vetor unitário (de comprimento 1). A direção do vetor gradiente normalizado será a direção de maior aumento da temperatura.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
| nabla T | = raiz ( -400x e^-x^2-3 y^2-9 z^2 )^2 + ( -1200y e^-x^2-3 y^2-9 z^2 )^2 + ( -3600z e^-x^2-3 y^2-9 z^2 )^2
Depois, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário.

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto Direção de maior crescimento = nabla T | nabla T | = ( -400x e^-x^2-3 y^2-9 z^2, -1200y e^-x^2-3 y^2-9 z^2, -3600z e^-x^2-3 y^2-9 z^2 ) | nabla T | é dada pelo vetor unitário na direção do gradiente de , ou seja:
çã
Esse vetor aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto considerado.

Exercícios relacionados