A temperatura em um ponto é dada por
onde é medido em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço tridimensional, ou seja, em função de , e . O que precisamos descobrir é qual é a direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como a temperatura , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação dessa função. Matemáticamente, o gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função temperatura em relação a , e .
Primeiro, a derivada em relação a :
Agora, a derivada em relação a :
E, por fim, a derivada em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente :
Esse vetor nos dá a direção de maior crescimento da temperatura no ponto .

Passo 5

Para encontrar a direção de maior crescimento, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformar o vetor gradiente em um vetor unitário (de comprimento 1). A direção do vetor gradiente normalizado será a direção de maior aumento da temperatura.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Depois, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário.

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é dada pelo vetor unitário na direção do gradiente de , ou seja:
çã
Esse vetor aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto considerado.

Exercícios relacionados

A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e satifazem a equação de onda;
Calcule a integral.
(a)
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(d)