A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que
e
satifazem a equação de onda;
(a) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de onda:
Aqui,
é uma constante positiva. A gente precisa mostrar que as funções
e
satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessas funções em relação ao tempo
e ao espaço
, e verificar se a equação de onda se mantém verdadeira.
Passo 2
Vamos começar analisando a função
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação a
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Onde
é a segunda derivada de
.
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
e
Percebemos que ambos os lados são iguais:
Passo 6
Repetindo o mesmo processo para a função
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
e
Novamente, ambos os lados são iguais:
Resposta
As funções
e
satisfazem a equação de onda:
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
(a)
(a)
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
, quando
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
.
A temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medido
em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em ?
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.