A equação
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que u(x, t)=f(x+c t) e v(x, t)=g(x-c t) satifazem a equação de onda;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de onda:
partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, é uma constante positiva. A gente precisa mostrar que as funções e satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessas funções em relação ao tempo e ao espaço , e verificar se a equação de onda se mantém verdadeira.

Passo 2

Vamos começar analisando a função partial upartial t = f'(x + ct) cdot c . Nosso objetivo é encontrar as derivadas de segunda ordem de em relação a e .
Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação a :
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 upartial t^2 = partialpartial t ( f'(x + ct) cdot c ) = f''(x + ct) cdot c^2 em relação a :
Onde é a segunda derivada de .

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de partial upartial x = f'(x + ct) cdot 1 = f'(x + ct) em relação a partial^2 upartial x^2 = f''(x + ct) :
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
partial^2 upartial t^2 = f''(x + ct) cdot c^2
e
c^2 partial^2 upartial x^2 = c^2 cdot f''(x + ct) = f''(x + ct) cdot c^2
Percebemos que ambos os lados são iguais:
partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para a função partial vpartial t = g'(x - ct) cdot (-c) :
Primeira derivada em relação a partial^2 vpartial t^2 = g''(x - ct) cdot c^2 :
partial vpartial x = g'(x - ct)
Segunda derivada em relação a partial^2 vpartial x^2 = g''(x - ct) :
partial^2 vpartial t^2 = g''(x - ct) cdot c^2
Primeira derivada em relação a c^2 partial^2 vpartial x^2 = c^2 cdot g''(x - ct) = g''(x - ct) cdot c^2 :
partial^2 vpartial t^2 = c^2 partial^2 vpartial x^2
Segunda derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
e
Novamente, ambos os lados são iguais:

Resposta

As funções partial^2 upartial t^2 = c^2 partial^2 upartial x^2 e partial^2 vpartial t^2 = c^2 partial^2 vpartial x^2 e satisfazem a equação de onda:

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