A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e satifazem a equação de onda;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de onda:
Aqui, é uma constante positiva. A gente precisa mostrar que as funções e satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessas funções em relação ao tempo e ao espaço , e verificar se a equação de onda se mantém verdadeira.

Passo 2

Vamos começar analisando a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas de segunda ordem de em relação a e .
Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação a :
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Onde é a segunda derivada de .

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
e
Percebemos que ambos os lados são iguais:

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para a função :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
e
Novamente, ambos os lados são iguais:

Resposta

As funções e satisfazem a equação de onda:

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(a)
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