Calcule a integral
integral0^1(16 t^3 i+2 t1+t^2 j) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de uma função vetorial que mistura as direções i e j. A função é e a gente precisa integrar isso de até . Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente usando técnicas de cálculo de integrais básicas, como a regra da potência e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a parte que está na direção i: integral 16 t^3 dt = 16 cdot t^44 = 4 t^4 . A regra da potência diz que para integrar , a gente faz . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos para a parte na direção j: integral 2 t1 + t^2 dt = integral duu = ln|u| + C = ln(1 + t^2) . Essa integral parece um pouco mais complicada, mas a gente pode usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é . Reescrevendo a integral:

Passo 4

Agora que temos as integrais indefinidas, vamos avaliar de 4 t^4 |0^1 = 4(1)^4 - 4(0)^4 = 4 - 0 = 4 a ln(1 + t^2) |0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2) - 0 = ln(2) .
Para a parte i:
Para a parte j:

Resposta

A integral calculada é .

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