Encontre L^{-1}(F(s)), nos seguintes casos:
F(s) = 1 / (s * (s^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está dentro da matéria de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer algumas transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. Queremos escrever como a soma de frações mais simples. Vamos supor que:

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • De , temos .
  • De , substituindo :
  • De , já temos .

Passo 6

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição:

Passo 7

Agora, encontramos a transformada inversa de cada termo separadamente:
Note que usamos a propriedade .

Passo 8

Finalmente, juntamos as transformadas inversas:

Resposta

A transformada inversa de é:

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