Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam
da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número
qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente
da quantidade inicial? E para que reste somente
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma substância que decai de forma exponencial. Depois de 10 anos, restam 70% da quantidade inicial. Vamos usar isso para descobrir uma fórmula que nos diga quanto resta após qualquer tempo
. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre decaimento exponencial e usar logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Aqui,
é a quantidade que resta após o tempo
,
é a quantidade inicial,
é a base dos logaritmos naturais, e
é a constante de decaimento que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Sabemos que após 10 anos, restam 70% da quantidade inicial. Então podemos escrever:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por
:
Passo 4
Agora, pra achar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
, temos:
Calculando:
Passo 5
Com
encontrado, nossa expressão para a quantidade que resta após um tempo
é:
Passo 6
Para descobrir quanto resta após 50 anos, substituímos
por 50 na fórmula:
Então, aproximadamente 16,8% da quantidade inicial ainda resta após 50 anos.
Passo 7
A meia-vida é o tempo que a quantidade inicial leva para reduzir pela metade. Usamos a fórmula:
Então, a meia-vida da substância é aproximadamente 19,42 anos.
Passo 8
Para saber quanto tempo leva para restar 20% da quantidade inicial, resolvemos:
Dividindo por
:
Tirando o logaritmo natural:
Então, leva aproximadamente 45,13 anos para restar 20% da quantidade inicial.
Passo 9
Para 10% da quantidade inicial, fazemos:
Dividindo por
:
Tirando o logaritmo natural:
Então, leva aproximadamente 64,46 anos para restar 10% da quantidade inicial.
Resposta
A expressão para a quantidade que resta após
anos é
. Após 50 anos, restam cerca de
da quantidade inicial. A meia-vida da substância é aproximadamente
anos. Para que reste somente
da quantidade inicial, são necessários cerca de
anos, e para que reste somente
, são necessários aproximadamente
anos.