Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam 70% da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número t qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente 20 percento da quantidade inicial? E para que reste somente 10 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma substância que decai de forma exponencial. Depois de 10 anos, restam 70% da quantidade inicial. Vamos usar isso para descobrir uma fórmula que nos diga quanto resta após qualquer tempo t. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre decaimento exponencial e usar logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Aqui, N(t) é a quantidade que resta após o tempo t, é a quantidade inicial, e é a base dos logaritmos naturais, e k é a constante de decaimento que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Sabemos que após 10 anos, restam 70% da quantidade inicial. Então podemos escrever:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por :

Passo 4

Agora, pra achar k, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando k, temos:
Calculando:

Passo 5

Com k encontrado, nossa expressão para a quantidade que resta após um tempo t é:

Passo 6

Para descobrir quanto resta após 50 anos, substituímos t por 50 na fórmula:
Então, aproximadamente 16,8% da quantidade inicial ainda resta após 50 anos.

Passo 7

A meia-vida é o tempo que a quantidade inicial leva para reduzir pela metade. Usamos a fórmula:
Então, a meia-vida da substância é aproximadamente 19,42 anos.

Passo 8

Para saber quanto tempo leva para restar 20% da quantidade inicial, resolvemos:
Dividindo por :
Tirando o logaritmo natural:
Então, leva aproximadamente 45,13 anos para restar 20% da quantidade inicial.

Passo 9

Para 10% da quantidade inicial, fazemos:
Dividindo por :
Tirando o logaritmo natural:
Então, leva aproximadamente 64,46 anos para restar 10% da quantidade inicial.

Resposta

A expressão para a quantidade que resta após t anos é . Após 50 anos, restam cerca de da quantidade inicial. A meia-vida da substância é aproximadamente anos. Para que reste somente da quantidade inicial, são necessários cerca de anos, e para que reste somente , são necessários aproximadamente anos.

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