A população de uma certa região cresce exponencialmente. Se em 1990(t=0) havia 40000 pessoas em uma cidade em 2000 esse número subiu para 46000 pessoas, encontre uma fórmula para a população em qualquer instante t. Qual será a população em 2020 ? E o período de duplicação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar uma fórmula que descreve o crescimento da população de uma cidade que cresce de forma exponencial. Isso quer dizer que a população aumenta a uma taxa proporcional ao número atual de pessoas. Vamos precisar das informações sobre a população em dois momentos diferentes (1990 e 2000) para descobrir como essa população está crescendo. Depois, vamos usar essa fórmula para estimar a população em 2020 e descobrir quanto tempo leva para a população dobrar de tamanho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Em 1990 (t = 0), a população era de 40.000 pessoas.
  • Em 2000 (t = 10 anos após 1990), a população subiu para 46.000 pessoas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do crescimento exponencial, que é:
Onde:
  • é a população no tempo t.
  • é a população inicial.
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • é a taxa de crescimento que queremos descobrir.
  • é o tempo passado desde o início (em anos, nesse caso).

Passo 4

Vamos usar os dados que temos para encontrar o valor de . Sabemos que:
E a população inicial . Substituindo na fórmula:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 40.000 para isolar a parte exponencial:

Passo 5

Para resolver para , vamos usar o logaritmo natural (ln), já que ele é o inverso da função exponencial:
Agora, isolamos :
Calculando:

Passo 6

Agora que temos o valor de , podemos escrever a fórmula completa da população:

Passo 7

Vamos usar essa fórmula para descobrir a população em 2020. Primeiro, calculamos quanto tempo passou desde 1990 até 2020:
2020 - 1990 = 30 anos
Então, . Substituindo na fórmula:
Calculando o expoente:
Então:
Portanto, a população em 2020 será de aproximadamente 60.880 pessoas.

Passo 8

Agora, vamos descobrir o período de duplicação, ou seja, quanto tempo leva para a população dobrar. Queremos que :
Simplificando:
Aplicamos o logaritmo natural:
Isolando :
Calculando:
Então, o período de duplicação é de aproximadamente 50 anos.

Resposta

A fórmula para a população em qualquer instante é:
Em 2020, a população será de aproximadamente 60.880 pessoas. O período de duplicação da população é de cerca de 50 anos.

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