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, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, vamos separar essa expressão complicada em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Isso significa escrever
como a soma de termos mais simples cujo inverso da Laplace a gente já conhece. Então, queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo e direito da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar um pouco mais:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Sabemos que:
e
Passo 8
Aplicando essas transformadas inversas aos nossos termos:
Para
:
Para
:
E para
:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa de
é:
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de
a
.
Seja
a temperatura no ponto
na elipse
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?
Calcule a integral