Encontre L^{-1}(F(s)), nos seguintes casos:
F(s) = 2 / ((s - 1)(s^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, vamos separar essa expressão complicada em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de termos mais simples cujo inverso da Laplace a gente já conhece. Então, queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo e direito da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar um pouco mais:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Sabemos que:
e

Passo 8

Aplicando essas transformadas inversas aos nossos termos:
Para :
Para :
E para :

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de é:

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