Calcule a integral.
integral0^1 1cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da integral de e como aplicá-la nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral0^1 sec x , dx é igual a . Então, a integral que precisamos calcular é:
A função é uma função trigonométrica que aparece frequentemente em integrais envolvendo funções recíprocas do cosseno.

Passo 3

Agora, precisamos saber como integrar integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C . A integral de é uma das integrais trigonométricas que tem uma solução específica:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida, ou seja, com limites de 0 a 1, não precisamos nos preocupar com a constante integral0^1 sec x , dx = [ ln |sec x + tan x| ]0^1 . Vamos aplicar a fórmula da integral indefinida nos limites dados:

Passo 5

Agora, vamos calcular sec 1 + tan 1 = 1cos 1 + sin 1cos 1 = 1 + sin 1cos 1 nos limites de 1 e 0.
Primeiro, para ln |sec 1 + tan 1| = ln ( 1 + sin 1cos 1 ) :
sec 0 + tan 0 = 1cos 0 + sin 0cos 0 = 1 + 0 = 1
Então:
ln |sec 0 + tan 0| = ln (1) = 0
Segundo, para :
Então:

Passo 6

Agora, subtraindo os valores nos limites:
[ ln ( 1 + sin 1cos 1 ) ] - [ ln (1) ] = ln ( 1 + sin 1cos 1 ) - 0 = ln ( 1 + sin 1cos 1 )

Resposta

Então, o valor da integral é:
ln ( 1 + sin 1cos 1 )

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