Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma: sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma série infinita: . A missão é descobrir se essa série converge ou diverge, e se ela converge, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como simplificar expressões com potências.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão do termo geral da série: 3^-2 k(-6)^4 - k = 3^-2k times (-6)^k - 4 .
Primeiro, lembrando que , a gente pode reescrever o denominador:

Passo 3

Agora, vamos reescrever (-6)^k - 4 = (-6)^k times (-6)^-4 = (-6)^k times 1(-6)^4 separando o expoente:
(-6)^4 = 1296
Calculando (-6)^k - 4 = (-6)^k1296 :
Então,

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
3^-2k times (-6)^k1296 = (-6)^k1296 times 3^2k
Sabemos que (-6)^k1296 times 9^k = (-6)^k1296 times 19^k , então:
11296 times (-69)^k = 11296 times (-23)^k
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, a série fica:
sumk=1^infty 11296 times (-23)^k
Podemos fatorar 11296 sumk=1^infty (-23)^k fora da soma:

Passo 6

Reconhecemos que é uma série geométrica com razão .
Para uma série geométrica , ela converge se . Nesse caso, , então a série converge.

Passo 7

A soma de uma série geométrica que começa em sumk=1^infty r^k = r1 - r é dada por:
sumk=1^infty (-23)^k = -231 - (-23) = -231 + 23 = -2353 = -25
Aplicando isso aqui:

Passo 8

Voltando à série original:
11296 times (-25) = -26480 = -13240

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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