Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma:
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma série infinita:
. A missão é descobrir se essa série converge ou diverge, e se ela converge, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como simplificar expressões com potências.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão do termo geral da série:
.
Primeiro, lembrando que
, a gente pode reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, vamos reescrever
separando o expoente:
Calculando
:
Então,
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Sabemos que
, então:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, a série fica:
Podemos fatorar
fora da soma:
Passo 6
Reconhecemos que
é uma série geométrica com razão
.
Para uma série geométrica
, ela converge se
. Nesse caso,
, então a série converge.
Passo 7
A soma de uma série geométrica que começa em
é dada por:
Aplicando isso aqui:
Passo 8
Voltando à série original:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.
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Calcule as seguintes integrais:
Dados
e
. Calcule
Calcule a integral.
Calcule a derivada das seguintes funções.