Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais básicas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador , vamos chamar isso de . Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando ambos os lados da equação:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Substituindo, temos:

Passo 5

A integral de é o logaritmo natural de mais uma constante. Então, continuando:
Onde é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos aplicar os limites diretamente.

Passo 6

Substituímos de volta por :
Agora, aplicando os limites de a :

Passo 7

Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva de a e no segmento de reta a
b. é a circunferencia , orientada no sentido horário
c. é a circunferencia , orientada no sentido anti-horário
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse
Calcule a integral:
Calcule a integral: