Calcule a integral: integral0^4 53 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^4 53x +1 , dx. Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais básicas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador 3x + 1, vamos chamar isso de u. Então, fazemos:
u = 3x + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados da equação:
du = 3 , dx Rightarrow dx = du3

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original. Substituindo, temos:
integral 53x +1 , dx = integral 5u cdot du3 = 53 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u , du é o logaritmo natural de u mais uma constante. Então, continuando:
53 integral 1u , du = 53 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos aplicar os limites diretamente.

Passo 6

Substituímos u de volta por 3x + 1:
53 ln|3x + 1|
Agora, aplicando os limites de 0 a 4:
53 ln|3(4) + 1| - 53 ln|3(0) + 1| = 53 ln(13) - 53 ln(1)

Passo 7

Sabemos que ln(1) = 0, então:
53 ln(13) - 0 = 53 ln(13)

Resposta

A integral integral0^4 53x +1 , dx é igual a 53 ln(13).

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