Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integrais básicas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador
, vamos chamar isso de
. Então, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados da equação:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Substituindo, temos:
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural de
mais uma constante. Então, continuando:
Onde
é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos aplicar os limites diretamente.
Passo 6
Substituímos
de volta por
:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva
de
a
e no segmento de reta
a
b. é a circunferencia
, orientada no sentido horário
c. é a circunferencia
, orientada no sentido anti-horário
a.
b.
c.
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados
e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse
a.
b.
c.
Calcule a integral:
Calcule a integral: