Calcule a integral:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida de
no intervalo de
a
. Este problema envolve o cálculo de integrais, um tópico da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos utilizar a técnica de substituição, que nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Observamos que o numerador da nossa integral original,
, é exatamente
. Portanto, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 3
A integral
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar os limites de integração para
.
Passo 4
Lembrando que:
Vamos calcular
nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Resposta
A integral vale
.