Calcule a integral:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de no intervalo de a . Este problema envolve o cálculo de integrais, um tópico da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos utilizar a técnica de substituição, que nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que:
Observamos que o numerador da nossa integral original, , é exatamente . Portanto, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 3

A integral é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar os limites de integração para .

Passo 4

Lembrando que:
Vamos calcular nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral:
Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva de a e no segmento de reta a
b. é a circunferencia , orientada no sentido horário
c. é a circunferencia , orientada no sentido anti-horário
Calcule a integral:
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.