Calcule a integral: integral1^2 1-cos thetatheta-sen theta d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de no intervalo de a . Este problema envolve o cálculo de integrais, um tópico da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos utilizar a técnica de substituição, que nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Vamos definir:
u = theta - sin theta
Agora, vamos calcular a derivada de dudtheta = 1 - cos theta em relação a du = (1 - cos theta) , dtheta :
integral 1 - cos thetatheta - sin theta , dtheta = integral duu
Isso significa que:
Observamos que o numerador da nossa integral original, , é exatamente . Portanto, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 3

A integral integral duu = ln |u| + C é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar os limites de integração para .

Passo 4

Lembrando que:
u = theta - sin theta
Vamos calcular u(2) = 2 - sin 2 nos limites de u(1) = 1 - sin 1 e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
integral1^2 1 - cos thetatheta - sin theta , dtheta = ln(2 - sin 2) - ln(1 - sin 1)

Resposta

A integral vale .

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