Calcule a integral: integral-2^0 x^2 e^x^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-2^0 x^2 e^x^3 / 2 dx. Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais, mais especificamente integrando funções que envolvem polinômios e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando a expressão x^2 e^x^3/2, notamos que o expoente da função exponencial, x^3/2, tem uma derivada que aparece multiplicando a função. Isso é um sinal de que a substituição será útil aqui.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^32. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 3x^22 implies du = 3x^22 dx implies dx = 23x^2 du

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral-2^0 x^2 e^x^3/2 dx = integralu(-2)^u(0) x^2 e^u cdot 23x^2 du
Simplificando os termos:
= 23 integralu(-2)^u(0) e^u du

Passo 5

Precisamos ajustar os limites de integração para os novos termos de u. Calculando:
  • Quando x = -2: u = (-2)^32 = -82 = -4
  • Quando x = 0: u = 0^32 = 0
Então, nossa integral agora é:
23 integral-4^0 e^u du

Passo 6

Integrando e^u em relação a u:
integral e^u du = e^u + C
Aplicando os limites de integração:
23 [ e^u ]-4^0 = 23 ( e^0 - e^-4 )
Sabemos que e^0 = 1, então:
= 23 (1 - e^-4)

Resposta

A integral integral-2^0 x^2 e^x^3 / 2 dx é igual a 23 (1 - e^-4).

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