Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a.
consiste no arco da curva
de
a
e no segmento de reta
a
b.
é a circunferencia
, orientada no sentido horário
c.
é a circunferencia
, orientada no sentido anti-horário
a.
b.
c.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. Estamos trabalhando com o campo vetorial
e a curva
é composta pelo arco da curva
de
a
e pelo segmento de reta de
a
. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Passo 5
Antes de prosseguir, precisamos verificar a orientação da curva
. O Teorema de Green é aplicado quando a curva é percorrida no sentido anti-horário. No nosso caso, o arco de
de
a
segue para a direita, e o segmento de reta de
a
segue para a esquerda, formando uma orientação anti-horária. Portanto, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente.
Passo 6
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. A região
está limitada pela curva
de
a
e pelo eixo
de
a
. Assim, para cada
no intervalo
,
varia de
a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para
, usamos integração por partes:
Então,
Avaliado de
a
:
Para
, podemos usar a identidade
e a substituição
:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados
e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse
a.
b.
c.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
a. ,
b. ,
e
e
a.
b.
Calcule a integral:
Calcule a integral: