Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva de a e no segmento de reta a
b. é a circunferencia , orientada no sentido horário
c. é a circunferencia , orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. Estamos trabalhando com o campo vetorial e a curva é composta pelo arco da curva de a e pelo segmento de reta de a . Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
Onde .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, temos:

Passo 5

Antes de prosseguir, precisamos verificar a orientação da curva . O Teorema de Green é aplicado quando a curva é percorrida no sentido anti-horário. No nosso caso, o arco de de a segue para a direita, e o segmento de reta de a segue para a esquerda, formando uma orientação anti-horária. Portanto, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente.

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . A região está limitada pela curva de a e pelo eixo de a . Assim, para cada no intervalo , varia de a .
Então, a integral dupla fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para , usamos integração por partes:
Então,
Avaliado de a :
Para , podemos usar a identidade e a substituição :
Avaliado de a :

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
a. ,
b. ,
e
e
Calcule a integral:
Calcule a integral: