Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. F(x, y)=, C consiste no arco da curva y=sen x de (0,0) a (pi, 0) e no segmento de reta (pi, 0) a (0,0)
b. F(x, y)=lang<= e^x+x^2 y, e^y-x y^2rang<=, C é a circunferencia x^2+y^2=25, orientada no sentido horário
c. F(x, y)=, C é a circunferencia (x-2)^2+(y-3)^2=1, orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. Estamos trabalhando com o campo vetorial F(x, y)=lang<= raizx+y^3, x^2+raizy rang<= e a curva C é composta pelo arco da curva y=sin x de (0,0) a (pi, 0) e pelo segmento de reta de (pi, 0) a (0,0). Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde F = lang<= P, Q rang<=.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P(x, y) = raizx + y^3 Q(x, y) = x^2 + raizy
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + raizy) = 2x partial Ppartial y = partialpartial y (raizx + y^3) = 3y^2

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD (2x - 3y^2) , dx , dy

Passo 5

Antes de prosseguir, precisamos verificar a orientação da curva C. O Teorema de Green é aplicado quando a curva é percorrida no sentido anti-horário. No nosso caso, o arco de y=sin x de (0,0) a (pi,0) segue para a direita, e o segmento de reta de (pi,0) a (0,0) segue para a esquerda, formando uma orientação anti-horária. Portanto, podemos aplicar o Teorema de Green diretamente.

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D. A região D está limitada pela curva y = sin x de x=0 a x=pi e pelo eixo x de x=pi a x=0. Assim, para cada x no intervalo [0, pi], y varia de 0 a sin x.
Então, a integral dupla fica:
integral0^pi integral0^sin x (2x - 3y^2) , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^sin x (2x - 3y^2) , dy = 2x integral0^sin x dy - 3 integral0^sin x y^2 , dy = 2x (sin x) - 3 ( (sin x)^33 ) = 2x sin x - (sin x)^3

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^pi ( 2x sin x - sin^3 x ) , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para integral0^pi 2x sin x , dx, usamos integração por partes:
u = 2x Rightarrow du = 2 , dx dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
Então,
integral 2x sin x , dx = -2x cos x + 2 integral cos x , dx = -2x cos x + 2 sin x
Avaliado de 0 a pi:
[-2pi cos pi + 2 sin pi] - [ -2 cdot 0 cos 0 + 2 sin 0 ] = [ -2pi (-1) + 0 ] - [0 + 0] = 2pi
Para integral0^pi sin^3 x , dx, podemos usar a identidade sin^3 x = sin x (1 - cos^2 x) e a substituição u = cos x:
integral sin^3 x , dx = integral sin x (1 - cos^2 x) , dx = integral ( sin x - sin x cos^2 x ) , dx = -cos x + cos^3 x3
Avaliado de 0 a pi:
[ -cos pi + cos^3 pi3 ] - [ -cos 0 + cos^3 03 ] = [ -(-1) + (-1)^33 ] - [ -1 + 13 ] = [1 - 13] - [ -1 + 13 ] = 23 - ( -23 ) = 43

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale 2pi - 43 = 6pi - 43.

Exercícios relacionados