Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a.
, C é o quadrado de lados
e
b.
, Cé o circulo
c.
, C é a elipse
a.
b.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as integrais usando o Teorema de Green. Esse teorema conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região dentro dessa curva. Vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.
Passo 2
Parte a
Vamos calcular
, onde
é o quadrado com vértices em
,
,
e
.
Pelo Teorema de Green, temos:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como
é o quadrado
,
, a integral dupla é:
Passo 3
Parte b
Agora vamos calcular
, onde
é o círculo
.
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como
é o círculo de raio 2, em coordenadas polares:
A integral se transforma em:
Calculando as integrais:
Passo 4
Parte c
Vamos calcular
, onde
é a elipse
.
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Resposta
a.
b.
c.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
a. ,
b. ,
e
e
a.
b.
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva
de
a
e no segmento de reta
a
b. é a circunferencia
, orientada no sentido horário
c. é a circunferencia
, orientada no sentido anti-horário
a.
b.
c.
Calcule a integral: