Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a.
, C é o quadrado de lados
e
b.
, Cé o circulo
c.
, C é a elipse
a.
b.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as integrais usando o Teorema de Green. Esse teorema conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região dentro dessa curva. Vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.
Passo 2
Parte a
Vamos calcular
, onde
é o quadrado com vértices em
,
,
e
.
Pelo Teorema de Green, temos:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como
é o quadrado
,
, a integral dupla é:
Passo 3
Parte b
Agora vamos calcular
, onde
é o círculo
.
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como
é o círculo de raio 2, em coordenadas polares:
A integral se transforma em:
Calculando as integrais:
Passo 4
Parte c
Vamos calcular
, onde
é a elipse
.
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Resposta
a.
b.
c.