Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. integralC e^y d x+2 x e^y d y, C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0 e y=1
b. integralC y^3 d x-x^3 d y, Cé o circulo x^2+y^2=4
c. integralC sen y d x+x cos y d y, C é a elipse x^2+x y+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver as integrais usando o Teorema de Green. Esse teorema conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região dentro dessa curva. Vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.

Passo 2

Parte a

Vamos calcular ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , onde partial Qpartial x = 2 e^y, partial Ppartial y = e^y é o quadrado com vértices em integral duplaD (2 e^y - e^y) dA = integral duplaD e^y dA , integral0^1 integral0^1 e^y dx dy = integral0^1 e^y cdot 1 , dy = [ e^y ]0^1 = e - 1 , e .
Pelo Teorema de Green, temos:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como é o quadrado , , a integral dupla é:

Passo 3

Parte b

Agora vamos calcular ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , onde partial Qpartial x = -3x^2, partial Ppartial y = 3y^2 é o círculo integral duplaD (-3x^2 - 3y^2) dA = -3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA .
Aplicando o Teorema de Green:
x^2 + y^2 = r^2
Aqui, -3 integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr dtheta = -3 integral0^2pi integral0^2 r^3 dr dtheta e -3 integral0^2pi [ r^44 ]0^2 dtheta = -3 integral0^2pi 164 dtheta = -3 integral0^2pi 4 dtheta = -12 cdot 2pi = -24pi .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como é o círculo de raio 2, em coordenadas polares:
A integral se transforma em:
Calculando as integrais:

Passo 4

Parte c

Vamos calcular ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , onde partial Qpartial x = cos y, partial Ppartial y = cos y é a elipse integral duplaD (cos y - cos y) dA = integral duplaD 0 , dA = 0 .
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:

Resposta

a.
b.
c.

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