Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse

Passo 1

Beleza, vamos resolver as integrais usando o Teorema de Green. Esse teorema conecta integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região dentro dessa curva. Vamos precisar saber como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.

Passo 2

Parte a

Vamos calcular , onde é o quadrado com vértices em , , e .
Pelo Teorema de Green, temos:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como é o quadrado , , a integral dupla é:

Passo 3

Parte b

Agora vamos calcular , onde é o círculo .
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:
Como é o círculo de raio 2, em coordenadas polares:
A integral se transforma em:
Calculando as integrais:

Passo 4

Parte c

Vamos calcular , onde é a elipse .
Aplicando o Teorema de Green:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então, a integral dupla fica:

Resposta

a.
b.
c.

Exercícios relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
a. ,
b. ,
e
e
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
a. consiste no arco da curva de a e no segmento de reta a
b. é a circunferencia , orientada no sentido horário
c. é a circunferencia , orientada no sentido anti-horário
Calcule a integral: