Calcule a integral integral0^2 d t4+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de de 0 a 2. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma fórmula que envolve a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica para integrar funções do tipo . A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função que estamos integrando é integral 14 + t^2 , dt = 12 arctan(t2) + C . Aqui, podemos identificar que , então . Substituindo na fórmula que lembramos:

Passo 4

Agora, como a integral é definida de 0 a 2, precisamos calcular o valor dessa expressão nos limites superior e inferior e depois subtrair:
[ 12 arctan(t2) ]0^2 = 12 arctan(22) - 12 arctan(02)

Passo 5

Simplificando os valores dentro da arco-tangente:
22 = 1 e 02 = 0
Sabemos que 12 cdot pi4 - 12 cdot 0 = pi8 - 0 = pi8 e . Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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