Calcule e verifique sua resposta por derivação.
integral e^raiz2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a e depois verificar nossa resposta derivando o resultado encontrado. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração por partes, que são tópicos da matéria de cálculo integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
u = raiz2x
Essa substituição ajuda a tornar a expressão no expoente mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u = (2x)^1/2 dudx = 12(2x)^-1/2 cdot 2 = 1raiz2x dx = raiz2x , du = u , du em termos de . Para isso, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo integral e^raiz2x , dx = integral e^u cdot u , du e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Para resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
u = u Rightarrow du = du dv = e^u , du Rightarrow v = e^u
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos integral e^raiz2x , dx = e^raiz2x (raiz2x - 1) + C de volta na expressão:

Resposta

integral e^raiz2 x d x = e^raiz2 x ( raiz2x - 1 ) + C

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