Calcule e verifique sua resposta por derivação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a e depois verificar nossa resposta derivando o resultado encontrado. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração por partes, que são tópicos da matéria de cálculo integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
Essa substituição ajuda a tornar a expressão no expoente mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Para isso, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

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Calcule a integral.
Calcule.
Calcule.