Calcule integral-1^1 integral0^y integral0^y(2 y+1) d x d z d y
Escolha uma opção:
13
-23
0
23
-13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais múltiplas! O enunciado pede para calcular a integral tripla . Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função em relação a , e , seguindo os limites de integração fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos começar integrando em relação a integral0^y (2y + 1) , dx = (2y + 1) times (y - 0) = (2y + 1) times y = 2y^2 + y . A integral interna é . Como não depende de , podemos tratá-la como uma constante em relação a . A integral de uma constante em relação a de a é simplesmente .
Então:

Passo 3

Agora que já integramos em relação a integral0^y (2y^2 + y) , dz = (2y^2 + y) times (y - 0) = (2y^2 + y) times y = 2y^3 + y^2 , vamos integrar o resultado em relação a . A próxima integral é . Assim como antes, não depende de , então a tratamos como constante em relação a .

Passo 4

Por último, precisamos integrar o resultado em relação a 2 times [y^44]-1^1 = 24 [1^4 - (-1)^4] = 12 (1 - 1) = 0 . A integral final é [y^33]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - (-13) = 23 .
Vamos integrar termo a termo:
  1. :
    • A integral de é , então:
  2. :
    • A integral de é , então:

Resposta

Somando as integrais, temos . Portanto, a resposta correta é .

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