Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule: integral 2 x+10x^2+4 x+13 d x Resp.: ln (x^2+4 x+13)+2 cotg(x+23)+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do tema de integração de funções racionais, onde a gente trabalha com quocientes de polinômios. Para resolver, vamos usar técnicas como completar o quadrado no denominador e separar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 9. Uma boa estratégia aqui é completar o quadrado para simplificar a expressão.
Agora, nosso denominador ficou .

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador 2x + 10x^2 + 4x + 13 = 2x + 4x^2 + 4x + 13 + 6x^2 + 4x + 13. Observamos que a derivada de é . Perceba que o numerador é parecido com essa derivada, então podemos separar a fração:
Isso simplifica nossa integral em duas partes.

Passo 4

Vamos integrar a primeira fração:
integral 2x + 4x^2 + 4x + 13 , dx
Aqui, percebemos que integral 2x + 4x^2 + 4x + 13 , dx = ln|x^2 + 4x + 13| + C é a derivada do logaritmo natural do denominador. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos integrar a segunda fração:
integral 6x^2 + 4x + 13 , dx
Lembrando que completamos o quadrado no denominador, temos integral 1u^2 + a^2 , du = 1a tan^-1(ua) + C. Isso se parece com a fórmula da integral arctangente:
integral 6(x + 2)^2 + 9 , dx = 6 cdot 13 tan^-1(x + 23) + C = 2 tan^-1(x + 23) + C
Aplicando isso aqui:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que integramos:
integral 2x + 10x^2 + 4x + 13 , dx = ln|x^2 + 4x + 13| + 2 tan^-1(x + 23) + C

Resposta

ln (x^2 + 4x + 13) + 2 tan^-1(x + 23) + C

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