Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do tema de integração de funções racionais, onde a gente trabalha com quocientes de polinômios. Para resolver, vamos usar técnicas como completar o quadrado no denominador e separar a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Uma boa estratégia aqui é completar o quadrado para simplificar a expressão.
Agora, nosso denominador ficou
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador
. Observamos que a derivada de
é
. Perceba que o numerador
é parecido com essa derivada, então podemos separar a fração:
Isso simplifica nossa integral em duas partes.
Passo 4
Vamos integrar a primeira fração:
Aqui, percebemos que
é a derivada do logaritmo natural do denominador. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos integrar a segunda fração:
Lembrando que completamos o quadrado no denominador, temos
. Isso se parece com a fórmula da integral arctangente:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que integramos: