Calcule o volume de
, o sólido em
limitado pelos planos de equações
e
e pelo cilindro circular de equação
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido chamado
no espaço tridimensional (
). Esse sólido é limitado por dois planos horizontais,
e
, e por um cilindro circular vertical com a equação
.
Vamos usar o conceito de integração em coordenadas cilíndricas, que é muito útil para sólidos com simetrias circulares como este.
Passo 2
As coordenadas cilíndricas
são uma extensão das coordenadas polares para três dimensões. Aqui,
é a distância do ponto à origem no plano
,
é o ângulo em relação ao eixo
, e
é a mesma coordenada
das coordenadas cartesianas.
A equação do cilindro
em coordenadas cilíndricas fica simplesmente
. Isso porque
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido
, vamos integrar sobre a região delimitada por
,
variando de
a
(para cobrir todo o círculo) e
variando de
a
.
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o termo
é o Jacobiano que aparece na mudança de coordenadas.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com respeito a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos com respeito a
:
A integral agora é:
Passo 6
Finalmente, integramos com respeito a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.