Calcule o volume de S, o sólido em R^3 limitado pelos planos de equações z = 0 e z = 2 e pelo cilindro circular de equação x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido chamado S no espaço tridimensional ( R^3). Esse sólido é limitado por dois planos horizontais, z = 0 e z = 2, e por um cilindro circular vertical com a equação .
Vamos usar o conceito de integração em coordenadas cilíndricas, que é muito útil para sólidos com simetrias circulares como este.

Passo 2

As coordenadas cilíndricas (r, theta, z) são uma extensão das coordenadas polares para três dimensões. Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, theta é o ângulo em relação ao eixo x, e z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica simplesmente . Isso porque .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido S, vamos integrar sobre a região delimitada por , theta variando de 0 a (para cobrir todo o círculo) e z variando de 0 a .
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, o termo r é o Jacobiano que aparece na mudança de coordenadas.

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos com respeito a z:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos com respeito a r:
A integral agora é:

Passo 6

Finalmente, integramos com respeito a theta:

Resposta

O volume do sólido S é unidades cúbicas.

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