A integral vale
Escolha uma opção:




Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral dupla . Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites de integração. A integral está definida para de 0 a 1 e, para cada , vai de a 1. Vamos desenhar essa região no plano para facilitar.

Passo 3

Ao desenhar, percebemos que a região de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Para simplificar a integral, vamos trocar a ordem de integração. Agora, vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a .

Passo 4

Com a ordem de integração trocada, a integral fica:
Note que a função não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente.

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver usando substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 7

Agora, avaliaremos a antiderivada de 0 a 1:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule
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0

Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule: Resp.:
Seja o volume do sólido delimitado pelo cilindro , pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Então vale
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