Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral dupla . Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites de integração. A integral está definida para de 0 a 1 e, para cada , vai de a 1. Vamos desenhar essa região no plano para facilitar.
Passo 3
Ao desenhar, percebemos que a região de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Para simplificar a integral, vamos trocar a ordem de integração. Agora, vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a .
Passo 4
Com a ordem de integração trocada, a integral fica:
Note que a função não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente.
Passo 5
Integrando em relação a :
Agora, nossa integral simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver usando substituição. Seja , então ou . Substituindo: