A integral integral0^1 integraly^1 11+x^4 d x d y vale
Escolha uma opção:
15
pi8
14
pi2
pi4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral dupla . Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites de integração. A integral está definida para de 0 a 1 e, para cada , vai de a 1. Vamos desenhar essa região no plano para facilitar.

Passo 3

Ao desenhar, percebemos que a região de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Para simplificar a integral, vamos trocar a ordem de integração. Agora, vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a .

Passo 4

Com a ordem de integração trocada, a integral fica:
integral0^1 integral0^x 11+x^4 , dy , dx
Note que a função não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente.

Passo 5

Integrando em relação a integral0^x 11+x^4 , dy = 11+x^4 cdot y |0^x = x1+x^4 :
integral0^1 x1+x^4 , dx
Agora, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver integral x1+x^4 , dx = 12 integral 11+u^2 , du = 12 arctan(u) + C = 12 arctan(x^2) + C usando substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 7

Agora, avaliaremos a antiderivada de 0 a 1:
12 arctan(1^2) - 12 arctan(0) = 12 cdot pi4 - 0 = pi8

Resposta

A integral vale .

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