Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a integral para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma região no plano xy. Às vezes, trocar a ordem de integração facilita. Então, vamos reescrever os limites.
Passo 3
Trocando a ordem de integração: agora, vamos deixar variar primeiro. Para entre 0 e 1, varia de 0 até (porque ). Assim, a integral fica:
Passo 4
Observamos que a função dentro da integral, , não depende de . Então, ao integrar em relação a , tratamos como uma constante:
Agora, nossa integral ficou mais simples:
Passo 5
Para resolver esta integral, vamos usar uma substituição simples. Seja integral x^2x^3+1 dx = 13 integral 1u du = 13 ln|u| + C , então 13 ln(x^3+1) |0^1 = 13 [ln(2) - ln(1)] = ln(2)3 , ou seja, . Substituindo na integral: