Calcule a integral: integral0^1 integralraizy^1(1x^3+1) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a integral para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma região no plano xy. Às vezes, trocar a ordem de integração facilita. Então, vamos reescrever os limites.

Passo 3

Trocando a ordem de integração: agora, vamos deixar integral0^1 integral0^x^2 (1x^3+1) dy , dx variar primeiro. Para entre 0 e 1, varia de 0 até (porque ). Assim, a integral fica:

Passo 4

Observamos que a função dentro da integral, integral0^x^2 (1x^3+1) dy = 1x^3+1 cdot y |0^x^2 = x^2x^3+1 , não depende de integral0^1 x^2x^3+1 dx . Então, ao integrar em relação a , tratamos como uma constante:
Agora, nossa integral ficou mais simples:

Passo 5

Para resolver esta integral, vamos usar uma substituição simples. Seja integral x^2x^3+1 dx = 13 integral 1u du = 13 ln|u| + C , então 13 ln(x^3+1) |0^1 = 13 [ln(2) - ln(1)] = ln(2)3 , ou seja, . Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

A integral vale .

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