Calcule a integral:
. (Sugestão: Coordenadas Polares).
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que é uma técnica útil para integrais em regiões circulares. Precisaremos entender como mudar as coordenadas cartesianas (
) para polares (
) e aplicar a fórmula do jacobiano para a transformação de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
Aqui,
é a distância do ponto
à origem, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
A região de integração é um círculo de raio 1 centrado na origem, já que
varia de
a
e
varia de
a
. Em coordenadas polares, isso corresponde a
variando de
a
e
variando de
a
.
Passo 4
Ao mudar para coordenadas polares, devemos incluir o fator do jacobiano, que é
. Portanto, a integral se transforma em:
Passo 5
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Para isso, fazemos uma substituição: seja
, então
ou
.
Passo 6
Com a substituição, os limites de integração mudam:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Passo 7
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 8
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule os limites da forma:
Calcule a integral:
Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Reescreva a integral
como uma integral iterada equivalente, nas cinco outras ordens.