Calcule a integral: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 ln (x^2+y^2+1) d y d x. (Sugestão: Coordenadas Polares).

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que é uma técnica útil para integrais em regiões circulares. Precisaremos entender como mudar as coordenadas cartesianas ( ) para polares ( ) e aplicar a fórmula do jacobiano para a transformação de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
x = r cos theta e y = r sin theta
Aqui, é a distância do ponto à origem, e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

A região de integração é um círculo de raio 1 centrado na origem, já que varia de a e varia de a . Em coordenadas polares, isso corresponde a variando de a e variando de a .

Passo 4

Ao mudar para coordenadas polares, devemos incluir o fator do jacobiano, que é integral0^2pi integral0^1 ln(r^2 + 1) cdot r , dr , dtheta . Portanto, a integral se transforma em:

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a integral0^1 ln(r^2 + 1) cdot r , dr :
Para isso, fazemos uma substituição: seja , então ou .

Passo 6

Com a substituição, os limites de integração mudam:
  • Quando 12 integral1^2 ln(u) , du ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 7

A integral de integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C em relação a 12 [ 2 ln(2) - 2 - (1 ln(1) - 1) ] = 12 (2 ln(2) - 2 + 1) = 12 (2 ln(2) - 1) = ln(2) - 12 é:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 8

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi ( ln(2) - 12 ) dtheta = ( ln(2) - 12 ) integral0^2pi dtheta = ( ln(2) - 12 ) cdot 2pi :

Resposta

A integral vale .

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