Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x +infty 1-x-e^-x2 x^3

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o limite da função quando tende a mais infinito. Aqui, estamos lidando com limites do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular limites desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que, à medida que vai para mais infinito, o numerador e o denominador também tendem a infinito. Isso confirma que estamos realmente diante de uma forma , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, para calcular o limite de limx to +infty f(x)g(x) = limx to +infty f'(x)g'(x) quando ambos tendem a infinito ou zero, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador f'(x) = 0 - 1 + e^-x = -1 + e^-x :
g'(x) = 6x^2
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo no limite:
limx to +infty -1 + e^-x6x^2

Passo 6

Vamos analisar o novo limite. Conforme limx to +infty -16x^2 = 0 tende a mais infinito, tende a zero. Então, o numerador se aproxima de , e o denominador cresce sem limites. Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a 0.

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