Calcule os limites da forma: 0 infty lim x 0[cotg(2 x) cdot cotg(pi2-x))]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando tende a 0 da expressão . Aqui estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções cotangente e tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando o ângulo está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cot(pi2 - x) = tan(x) . Sabemos que:
cot(2x) cdot tan(x)
Isso porque a cotangente de é igual à tangente de . Então, nossa expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que cot(2x) = 1tan(2x) é o mesmo que 1tan(2x) cdot tan(x) . Portanto:
Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Vamos usar a identidade da tangente do ângulo duplo:
tan(2x) = 2 tan(x)1 - tan^2(x)
Assim, substituindo 12 tan(x)1 - tan^2(x) cdot tan(x) = 1 - tan^2(x)2 tan(x) cdot tan(x) na nossa expressão:

Passo 5

Simplificando a expressão:
1 - tan^2(x)2 tan(x) cdot tan(x) = 1 - tan^2(x)2
Agora, nossa expressão reduzida é:
1 - tan^2(x)2

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando limx to 0 1 - tan^2(x)2 tende a 0:
1 - 02 = 12
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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