Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de até da função em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Dessa forma, a derivada de em relação a é:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir por na integral original. Substituindo na integral, temos:
Simplificando, os no numerador e denominador se cancelam:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais fazendo uma nova substituição. Definimos:
Assim, e a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada parte da integral separadamente. A primeira parte é simples:
A segunda parte é uma integral padrão:
Portanto, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, precisamos reverter as substituições para voltar à variável original . Lembrando que:
E também:
Com os limites de integração ajustados de para , isso corresponde a para .

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Substituindo os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

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