Calcule a integral. integral0^ln 10 e^x raize^x-1e^x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de até da função em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = e^x
Dessa forma, a derivada de du = e^x dx em relação a dx = due^x = duu é:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir integral0^ln 10 e^x raize^x-1e^x+8 dx = integralu=1^u=10 u raizu - 1u + 8 cdot duu por integral1^10 raizu - 1u + 8 du na integral original. Substituindo na integral, temos:
Simplificando, os no numerador e denominador se cancelam:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais fazendo uma nova substituição. Definimos:
t = raizu - 1
Assim, du = 2t , dt e a derivada de integral tt^2 + 1 + 8 cdot 2t , dt = 2 integral t^2t^2 + 9 dt em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
t^2t^2 + 9 = 1 - 9t^2 + 9
Portanto, a integral fica:
2 integral (1 - 9t^2 + 9) dt = 2 ( integral 1 , dt - 9 integral 1t^2 + 9 dt )

Passo 6

Vamos resolver cada parte da integral separadamente. A primeira parte é simples:
integral 1 , dt = t
A segunda parte é uma integral padrão:
integral 1t^2 + 9 dt = 13 arctan(t3) + C
Portanto, substituindo de volta:
2 ( t - 3 arctan(t3) ) + C

Passo 7

Agora, precisamos reverter as substituições para voltar à variável original t = raizu - 1 = raize^x - 1 . Lembrando que:
u = e^x
E também:
Com os limites de integração ajustados de para , isso corresponde a para .

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
2 [ t - 3 arctan(t3) ] g|0^3
Substituindo os limites:
2 [ 3 - 3 arctan(1) ] - 2 [ 0 - 3 arctan(0) ]
Sabemos que 2 [ 3 - 3 cdot pi4 ] = 6 - 3pi2 e , então:

Resposta

6 - 3pi2

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