Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de 0 a 1/2 da função
. Esse problema envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Também precisamos expressar
em termos de
. Sabendo que
, podemos rearranjar para:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais separando a fração:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que envolve a função exponencial sobre polinômios, que está relacionada à integral exponencial
. Portanto, a solução será expressa em termos dessa função especial.
Passo 9
Após calcular a integral, substituímos os limites de integração de
de
a
(já que quando
,
, e quando
,
).
Passo 10
Finalmente, avaliando a expressão e simplificando, obtemos o valor numérico da integral.
Resposta
O valor da integral é aproximadamente
.
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