Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de 0 a 1/2 da função . Esse problema envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Também precisamos expressar em termos de . Sabendo que , podemos rearranjar para:

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais separando a fração:

Passo 8

Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que envolve a função exponencial sobre polinômios, que está relacionada à integral exponencial . Portanto, a solução será expressa em termos dessa função especial.

Passo 9

Após calcular a integral, substituímos os limites de integração de de a (já que quando , , e quando , ).

Passo 10

Finalmente, avaliando a expressão e simplificando, obtemos o valor numérico da integral.

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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