Calcule a integral. integral0^1 / 2 x e^2 x(1+2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de 0 a 1/2 da função x e^2x(1+2x)^2 , dx. Esse problema envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir u = 1 + 2x.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = 2 , dx Rightarrow dx = du2

Passo 4

Também precisamos expressar x em termos de u. Sabendo que u = 1 + 2x, podemos rearranjar para:
x = u - 12

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral (u - 12) e^2 cdot u - 12u^2 cdot du2

Passo 6

Simplificando a expressão:
14 integral (u - 1) e^u - 1u^2 , du

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais separando a fração:
14 integral ( e^u - 1u - e^u - 1u^2 ) , du

Passo 8

Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que envolve a função exponencial sobre polinômios, que está relacionada à integral exponencial Ei(x). Portanto, a solução será expressa em termos dessa função especial.

Passo 9

Após calcular a integral, substituímos os limites de integração de u de 1 a 2 (já que quando x=0, u=1, e quando x=1/2, u=2).

Passo 10

Finalmente, avaliando a expressão e simplificando, obtemos o valor numérico da integral.

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 0,122.

Exercícios relacionados