Calcule a integral. integral x^2(4-x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral de x^2(4 - x^2)^3 / 2 em relação a x. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente envolvendo funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
integral x^2(4 - x^2)^3/2 , dx
A presença de 4 - x^2 no denominador sugere que uma substituição pode simplificar a expressão. Vamos tentar deixar o denominador mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 4 - x^2
Agora, precisamos encontrar du em termos de dx:
du = -2x , dx Rightarrow dx = -du2x

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x^2u^3/2 cdot (-du2x) = -12 integral xu^3/2 , du
Agora, precisamos expressar x em termos de u para completar a substituição.

Passo 5

Da substituição u = 4 - x^2, podemos resolver para x^2:
x^2 = 4 - u Rightarrow x = raiz4 - u
No entanto, essa expressão ainda está complicada. Em vez disso, notamos que podemos reorganizar a integral para facilitar a substituição.

Passo 6

Voltando à integral simplificada:
-12 integral xu^3/2 , du
Mas sabemos que u = 4 - x^2 e du = -2x , dx, então:
x , dx = -du2
Então, substituindo de novo:
-12 integral xu^3/2 , du = -12 cdot (-12) integral 1u^3/2 , du = 14 integral u^-3/2 , du

Passo 7

Agora, vamos integrar u^-3/2:
integral u^-3/2 , du = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C
Multiplicando pela constante 14:
14 cdot (-2u^-1/2) = -12 u^-1/2 + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original x substituindo u = 4 - x^2:
-12 cdot 1raizu + C = -12 cdot 1raiz4 - x^2 + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac12,raiz4 - x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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