Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente envolvendo funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
A presença de no denominador sugere que uma substituição pode simplificar a expressão. Vamos tentar deixar o denominador mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Agora, precisamos expressar em termos de para completar a substituição.

Passo 5

Da substituição , podemos resolver para :
No entanto, essa expressão ainda está complicada. Em vez disso, notamos que podemos reorganizar a integral para facilitar a substituição.

Passo 6

Voltando à integral simplificada:
Mas sabemos que e , então:
Então, substituindo de novo:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Multiplicando pela constante :

Passo 8

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.