Calcule a integral. integral t e^raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Esse tipo de integral envolve cálculo de integrais por substituição e por partes, que são técnicas que aprendemos em cálculo integral. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a expressão e depois aplicar a integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 3

Agora, vamos substituir integral t e^raizt , dt = integral u^2 e^u cdot 2u , du = 2 integral u^3 e^u , du e na integral original:

Passo 4

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a integração por partes. Lembrando que a fórmula é:
integral u^3 e^u , du = u^3 e^u - integral 3u^2 e^u , du
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Repetimos a integração por partes para integral u^2 e^u , du = u^2 e^u - integral 2u e^u , du :
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando:

Passo 6

Mais uma vez, aplicamos integração por partes para integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u :
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando:

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes:
integral u^3 e^u , du = u^3 e^u - 3 ( u^2 e^u - 2 (u e^u - e^u) )
Simplificando:
u^3 e^u - 3u^2 e^u + 6u e^u - 6 e^u

Passo 8

Voltando à variável original 2 (u^3 e^u - 3u^2 e^u + 6u e^u - 6 e^u) = 2 e^raizt ( t^3/2 - 3 t + 6 raizt - 6 ) onde :

Passo 9

Por fim, adicionamos a constante de integração 2 e^raizt ( t^3/2 - 3 t + 6 raizt - 6 ) + C :

Resposta

A integral de 2 e^raizt ( t^3/2 - 3 t + 6 raizt - 6 ) + C é:

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