Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Esse tipo de integral envolve cálculo de integrais por substituição e por partes, que são técnicas que aprendemos em cálculo integral. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a expressão e depois aplicar a integração por partes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
e, derivando ambos os lados em relação a
, temos
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 4
Para resolver
, vamos usar a integração por partes. Lembrando que a fórmula é:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Repetimos a integração por partes para
:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando:
Passo 6
Mais uma vez, aplicamos integração por partes para
:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando:
Passo 7
Agora, juntamos todas as partes:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à variável original
onde
:
Passo 9
Por fim, adicionamos a constante de integração
:
Resposta
A integral de
é:
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