Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Esse tipo de integral envolve cálculo de integrais por substituição e por partes, que são técnicas que aprendemos em cálculo integral. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a expressão e depois aplicar a integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que e, derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 4

Para resolver , vamos usar a integração por partes. Lembrando que a fórmula é:
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Repetimos a integração por partes para :
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando:

Passo 6

Mais uma vez, aplicamos integração por partes para :
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando:

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à variável original onde :

Passo 9

Por fim, adicionamos a constante de integração :

Resposta

A integral de é:

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