Calcule a integral.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica que usamos quando temos uma fração algébrica e queremos decompor em frações mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da fração. O denominador é
, que pode ser fatorado como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Vamos assumir que:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo os termos à direita:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Passo 8
Substituímos os valores de
,
e
na decomposição inicial:
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resposta
A integral é:
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