Calcule a integral. integral x^2+8 x-3x^3+3 x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral x^2+8 x-3x^3+3 x^2 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica que usamos quando temos uma fração algébrica e queremos decompor em frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da fração. O denominador é x^3 + 3x^2, que pode ser fatorado como x^2(x + 3). Então, temos:
x^2+8x-3x^3+3x^2 = x^2+8x-3x^2(x+3)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Vamos assumir que:
x^2+8x-3x^2(x+3) = Ax + Bx^2 + Cx+3
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x+3) para eliminar os denominadores:
x^2 + 8x - 3 = A cdot x(x+3) + B cdot (x+3) + C cdot x^2

Passo 5

Expandindo os termos à direita:
x^2 + 8x - 3 = A x^2 + 3A x + B x + 3B + C x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x^2 + 8x - 3 = (A + C)x^2 + (3A + B)x + 3B

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para x^2: 1 = A + C
  2. Para x: 8 = 3A + B
  3. Para o termo constante: -3 = 3B

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da terceira equação: -3 = 3B Rightarrow B = -1
  • Da segunda equação: 8 = 3A + (-1) Rightarrow 3A = 9 Rightarrow A = 3
  • Da primeira equação: 1 = 3 + C Rightarrow C = -2

Passo 8

Substituímos os valores de A, B e C na decomposição inicial:
x^2+8x-3x^2(x+3) = 3x + -1x^2 + -2x+3

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 3x , dx = 3 ln|x|
integral -1x^2 , dx = integral -x^-2 , dx = x^-1 + C = 1x
integral -2x+3 , dx = -2 ln|x+3|

Resposta

A integral é:
3 ln|x| + 1x - 2 ln|x+3| + C

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