Calcule a integral.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica que usamos quando temos uma fração algébrica e queremos decompor em frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da fração. O denominador é , que pode ser fatorado como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Vamos assumir que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo os termos à direita:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Passo 8

Substituímos os valores de , e na decomposição inicial:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:

Resposta

A integral é:

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