Calcule a integral
integral0^1 integral0^1 e^max x^2, y^2 d y d x
onde max x^2, y^2 significa o maior dos números x^2 e y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função exponencial do máximo entre e . A gente vai precisar entender como separar a região de integração para facilitar o cálculo, usando um pouco de geometria e propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que significa que, para cada ponto , a gente escolhe o maior valor entre e . No intervalo de 0 a 1 para ambos e , isso vai depender de qual dos dois, ou , é maior.

Passo 3

Para facilitar, vamos dividir a região de integração em duas partes:
  1. Quando , ou seja, . Nessa área, .
  2. Quando , ou seja, . Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral dupla considerando essas duas regiões:
integral0^1 integral0^x e^x^2 , dy , dx + integral0^1 integralx^1 e^y^2 , dy , dx
Isso significa que estamos somando as integrais em cada uma das áreas definidas.

Passo 5

Vamos resolver a primeira parte:
integral0^1 integral0^x e^x^2 , dy , dx
Como integral0^1 e^x^2 cdot x , dx = integral0^1 x e^x^2 , dx não depende de 12 integral0^1 e^u , du = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1) , podemos integrar em relação a facilmente:
Para essa integral, fazemos uma substituição simples: deixe , então , o que nos leva a:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte:
integral0^1 integralx^1 e^y^2 , dy , dx
Aqui, é mais fácil trocar a ordem de integração. Assim, a integral fica:
integral0^1 integral0^y e^y^2 , dx , dy
Integrando em relação a integral0^1 y e^y^2 , dy primeiro, temos:
12 integral0^1 e^u , du = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Fazemos novamente uma substituição: deixe , então , resultando em:

Resposta

Somando as duas partes:
12 (e - 1) + 12 (e - 1) = e - 1
Portanto, o valor da integral é .

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