Calcule a integral
onde
significa o maior dos números
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função exponencial do máximo entre
e
. A gente vai precisar entender como separar a região de integração para facilitar o cálculo, usando um pouco de geometria e propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que
significa que, para cada ponto
, a gente escolhe o maior valor entre
e
. No intervalo de 0 a 1 para ambos
e
, isso vai depender de qual dos dois,
ou
, é maior.
Passo 3
Para facilitar, vamos dividir a região de integração em duas partes:
- Quando
, ou seja, . Nessa área, . - Quando
, ou seja, . Aqui, .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral dupla considerando essas duas regiões:
Isso significa que estamos somando as integrais em cada uma das áreas definidas.
Passo 5
Vamos resolver a primeira parte:
Como
não depende de
, podemos integrar em relação a
facilmente:
Para essa integral, fazemos uma substituição simples: deixe
, então
, o que nos leva a:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte:
Aqui, é mais fácil trocar a ordem de integração. Assim, a integral fica:
Integrando em relação a
primeiro, temos:
Fazemos novamente uma substituição: deixe
, então
, resultando em:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral é
.
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Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
Se
denota o maior inteiro contido em
, calcule a integral
onde
.
O plano
corta o elipsoide sólido
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.