Encontre o valor médio da função f(x)=integralx^1 cos (t^2) d t no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de integração e de cálculo de valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função. A fórmula para o valor médio de Valor Médio = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo Valor Médio = integral0^1 f(x) , dx é:
é
No nosso caso, e , então a fórmula fica:
é

Passo 3

Agora, vamos substituir Valor Médio = integral0^1 ( integralx^1 cos(t^2) , dt ) dx pela expressão dada:
é
Esse é um integral duplo, onde a gente integra primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a integral0^1 ( integral0^t cos(t^2) , dx ) dt e depois em relação a . A gente precisa entender os limites de integração:
  • Para o primeiro integral, vai de 0 até 1.
  • Para o segundo, vai de até 1.
Quando trocamos a ordem, vai de 0 até 1, e para cada , vai de 0 até . Assim, o integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver o integral interno integral0^t cos(t^2) , dx = cos(t^2) cdot (t - 0) = t cos(t^2) . Note que é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 6

Substituindo de volta no integral principal, temos:
integral0^1 t cos(t^2) , dt
Agora, vamos resolver esse integral usando uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 . Então, a derivada de integral0^1 t cos(t^2) , dt = 12 integral0^1 cos(u) , du em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, integrando 12 integral0^1 cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^1 = 12 (sin(1) - sin(0)) = sin(1)2 :

Resposta

O valor médio da função no intervalo é .

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