Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de integração e de cálculo de valor médio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função. A fórmula para o valor médio de
no intervalo
é:
No nosso caso,
e
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela expressão dada:
Esse é um integral duplo, onde a gente integra primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A gente precisa entender os limites de integração:
- Para o primeiro integral,
vai de 0 até 1. - Para o segundo,
vai de até 1.
Quando trocamos a ordem,
vai de 0 até 1, e para cada
,
vai de 0 até
. Assim, o integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver o integral interno
. Note que
é constante em relação a
, então a integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta no integral principal, temos:
Agora, vamos resolver esse integral usando uma substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integrando
:
Resposta
O valor médio da função no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Se
denota o maior inteiro contido em
, calcule a integral
onde
.
Determine
, onde
é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios
e
.
Calcule a integral
onde
significa o maior dos números
e
.
O plano
corta o elipsoide sólido
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.