Encontre o valor médio da função no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de integração e de cálculo de valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função. A fórmula para o valor médio de no intervalo é:
é
No nosso caso, e , então a fórmula fica:
é

Passo 3

Agora, vamos substituir pela expressão dada:
é
Esse é um integral duplo, onde a gente integra primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A gente precisa entender os limites de integração:
  • Para o primeiro integral, vai de 0 até 1.
  • Para o segundo, vai de até 1.
Quando trocamos a ordem, vai de 0 até 1, e para cada , vai de 0 até . Assim, o integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver o integral interno . Note que é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 6

Substituindo de volta no integral principal, temos:
Agora, vamos resolver esse integral usando uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, integrando :

Resposta

O valor médio da função no intervalo é .

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