Se [[x]] denota o maior inteiro contido em x, calcule a integral
integral duplaR[[x+y]] d A
onde R=(x, y) mid 1 <= x <= 3,2 <= y <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de [[x+y]] sobre a região R, onde R é o retângulo definido por 1 <= x <= 3 e 2 <= y <= 5. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e o uso da função parte inteira, representada por [[x]], que pega o maior inteiro menor ou igual a x. Vamos precisar dividir a região R em partes onde [[x+y]] é constante para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função [[x+y]] se comporta na região R. Como x varia de 1 a 3 e y de 2 a 5, a soma x + y varia de 1 + 2 = 3 até 3 + 5 = 8. Portanto, [[x+y]] pode assumir os valores inteiros de 3 a 7, já que x + y nunca chega a 8 dentro de R.

Passo 3

Agora, vamos dividir a região R em sub-regiões onde [[x+y]] é constante. Para cada inteiro k de 3 a 7, vamos encontrar onde k <= x + y < k+1. Essas sub-regiões serão polígonos dentro de R.

Passo 4

Vamos calcular a área de cada sub-região correspondente a cada valor de k:
  • Para k = 3:
    A região onde 3 <= x + y < 4 forma um triângulo com vértices em (1,2), (1,3) e (2,2).
    Área = 12 times 1 times 1 = 0,5
  • Para k = 4:
    A região onde 4 <= x + y < 5 é um polígono com vértices em (1,3), (1,4), (2,3) e (2,2).
    Área = 1 times 1 = 1
  • Para k = 5:
    A região onde 5 <= x + y < 6 é um polígono com vértices em (1,4), (1,5), (3,3) e (2,3).
    Área = 2 times 1 = 2
  • Para k = 6:
    A região onde 6 <= x + y < 7 é um polígono com vértices em (2,4), (3,3), (3,4) e (2,5).
    Área = 1 times 1 = 1
  • Para k = 7:
    A região onde 7 <= x + y < 8 forma um triângulo com vértices em (2,5), (3,4) e (3,5).
    Área = 12 times 1 times 1 = 0,5

Passo 5

Agora, multiplicamos cada valor de k pela área correspondente e somamos tudo para obter o valor da integral:
Integral = 3 times 0,5 + 4 times 1 + 5 times 2 + 6 times 1 + 7 times 0,5
Calculando:
Integral = 1,5 + 4 + 10 + 6 + 3,5 = 25

Resposta

O valor da integral é 25.

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