Se denota o maior inteiro contido em , calcule a integral
onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , onde é o retângulo definido por e . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e o uso da função parte inteira, representada por , que pega o maior inteiro menor ou igual a . Vamos precisar dividir a região em partes onde é constante para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta na região . Como varia de 1 a 3 e de 2 a 5, a soma varia de até . Portanto, pode assumir os valores inteiros de 3 a 7, já que nunca chega a 8 dentro de .

Passo 3

Agora, vamos dividir a região em sub-regiões onde é constante. Para cada inteiro de 3 a 7, vamos encontrar onde . Essas sub-regiões serão polígonos dentro de .

Passo 4

Vamos calcular a área de cada sub-região correspondente a cada valor de :
  • Para :
    A região onde forma um triângulo com vértices em , e .
    Área =
  • Para :
    A região onde é um polígono com vértices em , , e .
    Área =
  • Para :
    A região onde é um polígono com vértices em , , e .
    Área =
  • Para :
    A região onde é um polígono com vértices em , , e .
    Área =
  • Para :
    A região onde forma um triângulo com vértices em , e .
    Área =

Passo 5

Agora, multiplicamos cada valor de pela área correspondente e somamos tudo para obter o valor da integral:
Calculando:

Resposta

O valor da integral é 25.

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Determine , onde é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios e .
Seja . Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros e . Faça um esboço do sólido.
Encontre o valor médio da função no intervalo .
Calcule a integral
onde significa o maior dos números e .