Se
denota o maior inteiro contido em
, calcule a integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
é o retângulo definido por
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e o uso da função parte inteira, representada por
, que pega o maior inteiro menor ou igual a
. Vamos precisar dividir a região
em partes onde
é constante para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta na região
. Como
varia de 1 a 3 e
de 2 a 5, a soma
varia de
até
. Portanto,
pode assumir os valores inteiros de 3 a 7, já que
nunca chega a 8 dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a região
em sub-regiões onde
é constante. Para cada inteiro
de 3 a 7, vamos encontrar onde
. Essas sub-regiões serão polígonos dentro de
.
Passo 4
Vamos calcular a área de cada sub-região correspondente a cada valor de
:
-
Para
:
A região ondeforma um triângulo com vértices em , e .
Área = -
Para
:
A região ondeé um polígono com vértices em , , e .
Área = -
Para
:
A região ondeé um polígono com vértices em , , e .
Área = -
Para
:
A região ondeé um polígono com vértices em , , e .
Área = -
Para
:
A região ondeforma um triângulo com vértices em , e .
Área =
Passo 5
Agora, multiplicamos cada valor de
pela área correspondente e somamos tudo para obter o valor da integral:
Calculando:
Resposta
O valor da integral é 25.
Exercícios relacionados
Determine
, onde
é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios
e
.
Seja
. Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros
e
. Faça um esboço do sólido.
Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
Calcule a integral
onde
significa o maior dos números
e
.