O plano
corta o elipsoide sólido
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A gente tem um plano dado pela equação que corta um elipsoide sólido definido por . Nosso objetivo é encontrar o volume do pedaço menor formado por essa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria dos sólidos, especificamente integração tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O elipsoide é uma espécie de esfera alongada nos eixos , e , com semieixos de comprimento , e , respectivamente. O plano corta esse elipsoide em dois pedaços. Queremos encontrar o volume do pedaço menor.

Passo 3

Para encontrar esse volume, vamos configurar uma integral tripla que representa o volume do elipsoide limitado pelo plano. Primeiro, precisamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do plano. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos dá em termos de e , permitindo definir os limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . No elipsoide, para cada valor de e , varia de até . Porém, como estamos interessados apenas na região acima do plano, o limite inferior de será o plano, ou seja, .

Passo 5

A integral tripla para o volume do pedaço menor será:
ã
Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em:

Passo 6

Para simplificar as integrais, podemos mudar para coordenadas elipsoidais ou usar simetrias do problema. Observando que o elipsoide é simétrico em relação ao plano, podemos calcular o volume total do elipsoide e depois determinar a fração correspondente ao pedaço menor.
O volume de um elipsoide é dado por:

Passo 7

A posição do plano determina a fração do volume que será cortada. Observando a equação do plano , percebemos que ele está construído de forma que intersecta os pontos , e no elipsoide. Isso significa que o plano corta o elipsoide de modo que os dois pedaços são proporcionais.

Passo 8

Devido à simetria, o volume do pedaço menor será uma fração do volume total do elipsoide. Especificamente, como o plano passa pela média harmônica dos semieixos, o volume do pedaço menor será:

Resposta

O volume do pedaço menor é .

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