O plano
corta o elipsoide sólido
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A gente tem um plano dado pela equação
que corta um elipsoide sólido definido por
. Nosso objetivo é encontrar o volume do pedaço menor formado por essa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria dos sólidos, especificamente integração tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O elipsoide
é uma espécie de esfera alongada nos eixos
,
e
, com semieixos de comprimento
,
e
, respectivamente. O plano
corta esse elipsoide em dois pedaços. Queremos encontrar o volume do pedaço menor.
Passo 3
Para encontrar esse volume, vamos configurar uma integral tripla que representa o volume do elipsoide limitado pelo plano. Primeiro, precisamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do plano. Por exemplo, podemos isolar
:
Isso nos dá
em termos de
e
, permitindo definir os limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. No elipsoide, para cada valor de
e
,
varia de
até
. Porém, como estamos interessados apenas na região acima do plano, o limite inferior de
será o plano, ou seja,
.
Passo 5
A integral tripla para o volume
do pedaço menor será:
Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em:
Passo 6
Para simplificar as integrais, podemos mudar para coordenadas elipsoidais ou usar simetrias do problema. Observando que o elipsoide é simétrico em relação ao plano, podemos calcular o volume total do elipsoide e depois determinar a fração correspondente ao pedaço menor.
O volume de um elipsoide é dado por:
Passo 7
A posição do plano determina a fração do volume que será cortada. Observando a equação do plano
, percebemos que ele está construído de forma que intersecta os pontos
,
e
no elipsoide. Isso significa que o plano corta o elipsoide de modo que os dois pedaços são proporcionais.
Passo 8
Devido à simetria, o volume do pedaço menor será uma fração do volume total do elipsoide. Especificamente, como o plano passa pela média harmônica dos semieixos, o volume do pedaço menor
será:
Resposta
O volume do pedaço menor é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde
significa o maior dos números
e
.
Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.