Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um campo vetorial , desenhando os vetores em pelo menos dez pontos diferentes. O campo vetorial dado é . Vamos usar conhecimentos de vetor e representação gráfica para resolver isso. Precisaremos entender o que é um campo vetorial e como representar vetores em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Um campo vetorial atribui um vetor a cada ponto do espaço. No nosso caso, estamos trabalhando no plano , então cada ponto terá um vetor associado, que neste exercício é . Isso significa que a componente horizontal do vetor depende de , e a componente vertical é sempre 1.

Passo 3

Vamos escolher dez pontos diferentes no plano para desenhar os vetores. Para facilitar, vou selecionar pontos onde as coordenadas e variam de -2 a 2. Aqui estão os pontos escolhidos:

Passo 4

Agora, para cada um desses pontos, vamos calcular o vetor . Isso significa que a componente do vetor será igual ao valor de do ponto, e a componente será sempre 1. Vamos calcular:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :
  8. Para :
  9. Para :
  10. Para :

Passo 5

Com os vetores calculados para cada ponto, vamos entender como desenhá-los no gráfico:
  • Componente ( ): Indica a direção horizontal do vetor. Valores positivos vão para a direita, negativos para a esquerda.
  • Componente ( ): Indica a direção vertical e, como no nosso caso sempre é 1, os vetores sempre terão a mesma altura.
Vamos então desenhar cada vetor começando no ponto correspondente:
  1. com : Começa em , vai 2 unidades para a esquerda e 1 para cima.
  2. com : Começa em , vai 1 para a esquerda e 1 para cima.
  3. com : Começa na origem, vai 0 para os lados e 1 para cima.
  4. com : Começa em , vai 1 para a direita e 1 para cima.
  5. com : Começa em , vai 2 para a direita e 1 para cima.
  6. com : Começa em , vai direto para cima.
  7. com : Começa em , vai 2 para a direita e 1 para cima.
  8. com : Começa em , vai direto para cima.
  9. com : Começa em , vai 2 para a esquerda e 1 para cima.
  10. com : Começa em , vai 1 para a esquerda e 1 para cima.

Passo 6

Depois de desenhar todos os vetores conforme explicado, você terá um campo vetorial onde as setas apontam em direções diferentes dependendo do valor de no ponto. Observando os vetores:
  • Quando é positivo, a componente do vetor também é positiva, indicando movimentos para a direita.
  • Quando é negativo, a componente do vetor é negativa, indicando movimentos para a esquerda.
  • A componente vertical é sempre constante, com magnitude 1, o que significa que todos os vetores têm a mesma altura.
Isso resulta em um campo que mostra uma variação horizontal baseada no valor de , enquanto a vertical permanece constante.

Resposta

Desenhando os vetores conforme os passos acima em dez pontos diferentes, obtemos o esboço do campo vetorial , onde cada vetor varia na direção horizontal de acordo com , mantendo uma direção vertical constante para cima.

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corta o elipsoide sólido
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Calcule a integral
onde significa o maior dos números e .
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes. .
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes. .