Calcule a integral.
integral0^pi / 2[e^-x cos 2 x+x^2 sen x] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de integração como integração por partes e integração de funções trigonométricas multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^pi / 2 e^-x cos 2x , dx + integral0^pi / 2 x^2 sin x , dx
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver individualmente.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver e^-x( -cos 2x - 2 sin 2x)1 + 4 = e^-x(-cos 2x - 2 sin 2x)5 . Para integrar uma função do tipo [ e^-x(-cos 2x - 2 sin 2x)5 ]0^pi/2 , usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que a integral resulta em:
Portanto, a integral definida de 0 a será:

Passo 4

Vamos calcular esse resultado nos limites:
Para e^-pi/2(-cos pi - 2 sin pi)5 = e^-pi/2(1 - 0)5 = e^-pi/25 :
e^0(-cos 0 - 2 sin 0)5 = -(1) - 05 = -15
Para e^-pi/25 - (-15) = e^-pi/2 + 15 :
Subtraindo os dois valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + integral 2x cos x , dx . Aqui, usaremos a técnica de integração por partes duas vezes, já que o polinômio requer duas aplicações dessa técnica.
Primeira integração por partes:
  • Escolha e .
  • Então, e .
Aplicando:

Passo 6

Agora, resolvemos integral 2x cos x , dx = 2x sin x - integral 2 sin x , dx = 2x sin x + 2 cos x usando integração por partes novamente:
  • Escolha e .
  • Então, e .
Aplicando:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x
Agora, avaliamos de 0 a -(pi2)^2 cos(pi2) + 2 cdot pi2 sin(pi2) + 2 cos(pi2) = 0 + pi cdot 1 + 0 = pi :
Para -0^2 cos(0) + 2 cdot 0 sin(0) + 2 cos(0) = 0 + 0 + 2 = 2 :
pi - 2
Para :
Subtraindo:

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
e^-pi/2 + 15 + (pi - 2) = pi - 2 + 1 + e^-pi/25
Então, a integral pi - 2 + 1 + e^-pi/25 é igual a:

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