Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de integração como integração por partes e integração de funções trigonométricas multiplicadas por exponenciais.
Passo 2
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver individualmente.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver
. Para integrar uma função do tipo
, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que a integral resulta em:
Portanto, a integral definida de 0 a
será:
Passo 4
Vamos calcular esse resultado nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral
. Aqui, usaremos a técnica de integração por partes duas vezes, já que o polinômio
requer duas aplicações dessa técnica.
Primeira integração por partes:
- Escolha
e . - Então,
e .
Aplicando:
Passo 6
Agora, resolvemos
usando integração por partes novamente:
- Escolha
e . - Então,
e .
Aplicando:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Somando as duas partes da integral, temos:
Então, a integral
é igual a:
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Calcule a integral.
Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.