Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de integração como integração por partes e integração de funções trigonométricas multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver individualmente.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver . Para integrar uma função do tipo , usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que a integral resulta em:
Portanto, a integral definida de 0 a será:

Passo 4

Vamos calcular esse resultado nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os dois valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral . Aqui, usaremos a técnica de integração por partes duas vezes, já que o polinômio requer duas aplicações dessa técnica.
Primeira integração por partes:
  • Escolha e .
  • Então, e .
Aplicando:

Passo 6

Agora, resolvemos usando integração por partes novamente:
  • Escolha e .
  • Então, e .
Aplicando:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, avaliamos de 0 a :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
Então, a integral é igual a:

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Calcule a integral.
Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.