Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-4^4 1(x+1)^2 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, ou seja, pontos onde ela não está bem definida ou tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo onde a função não está definida ou tende ao infinito. Observando o denominador, , percebemos que quando , o denominador fica zero, o que faz a função não ser definida nesse ponto. Então, temos uma descontinuidade em , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Como temos uma descontinuidade em integral-4^4 1(x+1)^2/3 , dx = integral-4^-1 1(x+1)^2/3 , dx + integral-1^4 1(x+1)^2/3 , dx , vamos dividir a integral original em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos permite tratar cada intervalo separadamente e verificar a convergência em cada parte.

Passo 4

Vamos começar pela primeira integral: lima to -1^- integral-4^a 1(x+1)^2/3 , dx . Como tende a zero quando se aproxima de por valores maiores, temos que o denominador tende a zero, fazendo a função tender ao infinito. Para lidar com isso, usamos limites:

Passo 5

Agora, vamos calcular a antiderivada de integral (x+1)^-2/3 , dx = (x+1)^1/31/3 + C = 3(x+1)^1/3 + C . Reescrevendo a função, temos . A antiderivada é encontrada aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente:

Passo 6

Aplicando a antiderivada na primeira parte:
lima to -1^- [ 3(x+1)^1/3 ]-4^a = lima to -1^- [ 3(a+1)^1/3 - 3(-4+1)^1/3 ]
Calculando os valores:
= lima to -1^- [ 3(a+1)^1/3 - 3(-3)^1/3 ] = lima to -1^- [ 3(a+1)^1/3 + 3 cdot 3^1/3 ]
Quando = 0 + 3 cdot 3^1/3 = 3 cdot 3^1/3 se aproxima de pela esquerda, tende a zero. Então:

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: limb to -1^+ integralb^4 1(x+1)^2/3 , dx . Similarmente, usamos limites para tratar a descontinuidade:
limb to -1^+ [ 3(x+1)^1/3 ]b^4 = limb to -1^+ [ 3(5)^1/3 - 3(b+1)^1/3 ]
Usando a mesma antiderivada:
= 3 cdot 5^1/3 - 0 = 3 cdot 5^1/3
Quando se aproxima de pela direita, tende a zero. Então:

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
3 cdot 3^1/3 + 3 cdot 5^1/3
Podemos fatorar o 3:
3 ( 3^1/3 + 5^1/3 )

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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