Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a integral imprópria
converge ou diverge. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, ou seja, pontos onde ela não está bem definida ou tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo
onde a função
não está definida ou tende ao infinito. Observando o denominador,
, percebemos que quando
, o denominador fica zero, o que faz a função não ser definida nesse ponto. Então, temos uma descontinuidade em
, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Como temos uma descontinuidade em
, vamos dividir a integral original em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos permite tratar cada intervalo separadamente e verificar a convergência em cada parte.
Passo 4
Vamos começar pela primeira integral:
. Como
tende a zero quando
se aproxima de
por valores maiores, temos que o denominador tende a zero, fazendo a função tender ao infinito. Para lidar com isso, usamos limites:
Passo 5
Agora, vamos calcular a antiderivada de
. Reescrevendo a função, temos
. A antiderivada é encontrada aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente:
Passo 6
Aplicando a antiderivada na primeira parte:
Calculando os valores:
Quando
se aproxima de
pela esquerda,
tende a zero. Então:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
. Similarmente, usamos limites para tratar a descontinuidade:
Usando a mesma antiderivada:
Quando
se aproxima de
pela direita,
tende a zero. Então:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Podemos fatorar o 3:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
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Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.