Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode ter problemas, ou seja, pontos onde ela não está bem definida ou tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo onde a função não está definida ou tende ao infinito. Observando o denominador, , percebemos que quando , o denominador fica zero, o que faz a função não ser definida nesse ponto. Então, temos uma descontinuidade em , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Como temos uma descontinuidade em , vamos dividir a integral original em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos permite tratar cada intervalo separadamente e verificar a convergência em cada parte.

Passo 4

Vamos começar pela primeira integral: . Como tende a zero quando se aproxima de por valores maiores, temos que o denominador tende a zero, fazendo a função tender ao infinito. Para lidar com isso, usamos limites:

Passo 5

Agora, vamos calcular a antiderivada de . Reescrevendo a função, temos . A antiderivada é encontrada aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente:

Passo 6

Aplicando a antiderivada na primeira parte:
Calculando os valores:
Quando se aproxima de pela esquerda, tende a zero. Então:

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: . Similarmente, usamos limites para tratar a descontinuidade:
Usando a mesma antiderivada:
Quando se aproxima de pela direita, tende a zero. Então:

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Podemos fatorar o 3:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.