Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-infty^infty cos ^2 x d x

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria integral-infty^infty cos^2x , dx converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de integrais impróprias e algumas identidades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função cos^2x. Sabia que a gente pode usar uma identidade trigonométrica para isso? A identidade é:
cos^2x = 1 + cos(2x)2
Essa transformação ajuda a tornar a integração mais simples.

Passo 3

Agora, substituímos a identidade na integral original:
integral-infty^infty cos^2x , dx = integral-infty^infty 1 + cos(2x)2 , dx = 12 integral-infty^infty 1 , dx + 12 integral-infty^infty cos(2x) , dx

Passo 4

Vamos avaliar cada uma dessas integrais separadamente. A primeira é:
12 integral-infty^infty 1 , dx
Essa integral representa a área sob uma linha reta contínua de altura 1 ao longo de todo o eixo x. Como o intervalo vai de -infty a infty, essa área é infinita.

Passo 5

A segunda integral é:
12 integral-infty^infty cos(2x) , dx
Sabemos que a integral de uma função cossenoed ao longo de todo o eixo real é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Então, somando os resultados das duas integrais:
infty + 0 = infty
Isso significa que a integral original não tem um valor finito.

Resposta

A integral imprópria integral-infty^infty cos^2x , dx diverge.

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