Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Vamos usar conhecimentos de integrais impróprias e algumas identidades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabia que a gente pode usar uma identidade trigonométrica para isso? A identidade é:
Essa transformação ajuda a tornar a integração mais simples.
Passo 3
Agora, substituímos a identidade na integral original:
Passo 4
Vamos avaliar cada uma dessas integrais separadamente. A primeira é:
Essa integral representa a área sob uma linha reta contínua de altura 1 ao longo de todo o eixo x. Como o intervalo vai de
a
, essa área é infinita.
Passo 5
A segunda integral é:
Sabemos que a integral de uma função cossenoed ao longo de todo o eixo real é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Então, somando os resultados das duas integrais:
Isso significa que a integral original não tem um valor finito.
Resposta
A integral imprópria
diverge.
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Calcule a integral.
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