Calcule a integral.
integral raizx^2+2 x-3x+1 d x

Passo 1

Então, temos para resolver a integral . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em Técnicas de Integração. Vamos precisar usar substituição e simplificação algébrica para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para isso, completamos o quadrado.

Passo 3

Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de forma que fique uma soma ou diferença de um quadrado perfeito. Vamos fazer isso para x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 :
x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4
Então:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral:
integral raiz(x + 1)^2 - 4x + 1 , dx

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja integral raizu^2 - 4u , du , então . A integral fica:

Passo 6

Agora, simplificamos a fração dentro da integral:
raizu^2 - 4u = raiz1 - 4u^2
Isso facilita a resolução da integral.

Passo 7

Para resolver , podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa expressão se relaciona com funções arcossecantes. Contudo, uma abordagem mais simples é reescrever a expressão para facilitar a integração.

Passo 8

Vamos considerar uma substituição onde integral raiz1 - 44sec^2theta cdot 2secthetatantheta , dtheta = integral raiz1 - cos^2theta cdot 2secthetatantheta , dtheta . Então, . Substituindo na integral:

Passo 9

Sabemos que integral sintheta cdot 2secthetatantheta , dtheta = 2integral sintheta cdot 1costheta cdot sinthetacostheta , dtheta = 2integral sin^2thetacos^2theta , dtheta . Então, a integral fica:

Passo 10

Simplificando, temos:
2integral tan^2theta , dtheta
Sabemos que 2integral (sec^2theta - 1) , dtheta = 2(tantheta - theta) + C , então:

Passo 11

Agora, voltamos à variável original. Como 2(raizu^2 - 42 - sec^-1(u2)) + C = raizu^2 - 4 - 2sec^-1(u2) + C , temos e .
Substituindo:

Passo 12

Finalmente, voltamos para raiz(x + 1)^2 - 4 - 2sec^-1(x + 12) + C . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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