Calcule a integral.
Passo 1
Então, temos para resolver a integral
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em Técnicas de Integração. Vamos precisar usar substituição e simplificação algébrica para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para isso, completamos o quadrado.
Passo 3
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática de forma que fique uma soma ou diferença de um quadrado perfeito. Vamos fazer isso para
:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Agora, simplificamos a fração dentro da integral:
Isso facilita a resolução da integral.
Passo 7
Para resolver
, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa expressão se relaciona com funções arcossecantes. Contudo, uma abordagem mais simples é reescrever a expressão para facilitar a integração.
Passo 8
Vamos considerar uma substituição onde
. Então,
. Substituindo na integral:
Passo 9
Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 10
Simplificando, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Agora, voltamos à variável original. Como
, temos
e
.
Substituindo:
Passo 12
Finalmente, voltamos para
. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.