Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha
, onde
é a metade direita do círculo definido pela equação
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para encontrar o raio. Calculando:
Portanto, a equação do círculo é
, e o raio
é
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando coordenadas polares. Para a metade direita do círculo, onde
, podemos usar:
onde
varia de
a
.
Passo 4
O diferencial de arco
em coordenadas polares é dado por
. Substituindo
,
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Como a função
é par, podemos simplificar:
Fazendo a substituição
,
:
Resposta
A integral de linha
é igual a
, onde
. Portanto:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e
em
.
(a)
Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde:
(a) onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
(a)
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: