Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
integralC x y^4 d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16 cdot 2 cdot 4^65.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha , onde é a metade direita do círculo definido pela equação . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para encontrar o raio. Calculando:
x^2 + y^2 = 16 cdot 2 cdot 4^65 = 16 cdot 2 cdot 40965 = 16 cdot 81925 = 1310725
Portanto, a equação do círculo é , e o raio é .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva x = r costheta usando coordenadas polares. Para a metade direita do círculo, onde y = r sintheta , podemos usar:
onde varia de a .

Passo 4

O diferencial de arco integralC x y^4 , d s = integral-pi2^pi2 (r costheta) (r sintheta)^4 cdot r , dtheta em coordenadas polares é dado por = r^6 integral-pi2^pi2 costheta sin^4theta , dtheta . Substituindo , e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral = 2 r^6 integral0^pi2 costheta sin^4theta , dtheta . Como a função = 2 r^6 integral0^1 u^4 , du = 2 r^6 [ u^55 ]0^1 = 2 r^65 é par, podemos simplificar:
Fazendo a substituição , :

Resposta

A integral de linha integralC x y^4 , d s = 2 (raiz1310725)^65 é igual a , onde . Portanto:

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