Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
, onde é a metade direita do círculo .

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha , onde é a metade direita do círculo definido pela equação . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha em curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para encontrar o raio. Calculando:
Portanto, a equação do círculo é , e o raio é .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando coordenadas polares. Para a metade direita do círculo, onde , podemos usar:
onde varia de a .

Passo 4

O diferencial de arco em coordenadas polares é dado por . Substituindo , e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Como a função é par, podemos simplificar:
Fazendo a substituição , :

Resposta

A integral de linha é igual a , onde . Portanto:

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e em .
Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde:
(a) onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: