Calcule a integral.
integral0^pi / 2[sen(2 theta)]^3 d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3 x = 3 sin x - sin(3x)4 de uma forma que seja mais fácil de integrar. Uma identidade trigonométrica que ajuda nesse caso é a fórmula para sin^3(2theta) = 3 sin(2theta) - sin(6theta)4 :
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^pi / 2 sin^3(2theta) dtheta = integral0^pi / 2 3 sin(2theta) - sin(6theta)4 dtheta
Podemos simplificar isso dividindo cada termo pelo 4:
= 34 integral0^pi / 2 sin(2theta) dtheta - 14 integral0^pi / 2 sin(6theta) dtheta

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo separadamente. A integral de integral sin(ktheta) dtheta = -cos(ktheta)k + C é:
34 [ -cos(2theta)2 ]0^pi / 2 - 14 [ -cos(6theta)6 ]0^pi / 2
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das expressões nos limites de integração ( -38 [ cos(2 cdot pi2) - cos(0) ] = -38 [ cos(pi) - 1 ] = -38 [ -1 - 1 ] = -38 times (-2) = 34 e 124 [ cos(6 cdot pi2) - cos(0) ] = 124 [ cos(3pi) - 1 ] = 124 [ -1 - 1 ] = 124 times (-2) = -112 ):
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:

Passo 6

Agora, somamos os resultados dos dois termos:
34 - 112 = 912 - 112 = 812 = 23

Resposta

A integral é igual a .

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